Межзвездная радиосвязь

[rockclimber]

Anton_Peplov в сообщении #1155993 писал(а):

Можно спорить, неизбежное ли это изобретение или удача. Если бы мы взяли древних греков и переселили их на пустую планету, чтобы они не контактировали с носителями других математических культур - изобрели бы они в конце концов символьную алгебру? А если нет, то изобрели бы они потом радиотелескопы? И понятен ли нам был бы сигнал, в который они заложили бы элементарные понятия своей математики?

Ну вот не знаю, в том топике было сказано как-то так:

Sonic86 в сообщении #519692 писал(а):

Можно было бы предположить разумных подземных существ, с плохим зрением, у них бы скорее всего первыми с арифметикой появилась теория графов. Но потом бы все равно появилась алгебра, геометрия, матан, теория алгоритмов и прочее - все та же математика.

Вообще, я понял тот топик так, что целенаправленно ищущий разум рано или поздно дойдет до всех концепций и уровней абстракции, которые биологический носитель разума (мозг или его аналог) потянет аппаратно.

-- 30.09.2016, 17:58 --

Хотя нет. Сейчас в голову вопрос пришел. Мы не можем утверждать, что человечество открыло все возможные области математики, следовательно, другие существа могли подойти к неоткрытым нами областям с другой стороны, обусловленной их биологией. А у них, в свою очередь, могут оказаться неоткрытыми известные нам области. И вот в этом и вопрос (к математикам): насколько такое возможно?

[Anton_Peplov]

rockclimber в сообщении #1156056 писал(а):

Ну вот не знаю, в том топике было сказано как-то так

Цитированное Вами высказывание я читал. С ним одна проблема: оно голословно. Как, впрочем, голословно и его отрицание.

rockclimber в сообщении #1156056 писал(а):

Мы не можем утверждать, что человечество открыло все возможные области математики, следовательно, другие существа могли подойти к неоткрытым нами областям с другой стороны, обусловленной их биологией.

Вот именно.

rockclimber в сообщении #1156056 писал(а):

И вот в этом и вопрос (к математикам): насколько такое возможно?

Я не математик. Но если определить язык формальной теории, а потом взять компьютер и заставить его генерировать аксиомы и правила вывода от балды, думаю, он за считанные секунды работы нагенерирует больше непротиворечивых систем, чем все математики человечества будут в состоянии исследовать.

(Что-то похожее на пример)

В математике есть такая идеология - конструктивизм. В ней объект признается существующим, только если предъявлен алгоритм его построения. И есть всякие "полуконструктивные" области, где от одних объектов требуется алгоритм построения, а от других - нет. Например, теория колмогоровской сложности рассматривает множество всех двоичных последовательностей, не только вычислимых, но при этом интересуется не всякими множествами меры нуль, а только эффективно нулевыми (множество называется эффективно нулевым по Мартин-Лёфу, если для всякого рационального $\varepsilon$ существует алгоритм, вычисляющий его покрытие суммарной мерой меньше $\varepsilon$, т.е. для каждого натурального $n$ выдающий $n$-ный член этого покрытия). Я однажды задумался о разных видах "частично конструктивного" матана. Можно ведь рассматривать только вычислимые действительные числа, а можно - все; только вычислимо сходящиеся последовательности, а можно - все; и т.д. Если в матане найдется хотя бы десять понятий, для которых можно независимо построить осмысленное сужение до вычислимости, то будет уже $2^{10}$ вариантов "частично конструктивного" матана. И, наверное, в каждом найдутся нетривиальные теоремы, которых в других вариантах нет (например, эффективно нулевые множества по Мартин-Лёфу обладают изумительным свойством: объединение всех эффективно нулевых множеств есть эффективно нулевое множество). Только где взять математиков, чтобы построить $2^{10}$ наук?

Тот факт, что в чистой математике можно построить бесконечное множество неизоморфных друг другу структур, даже и оспаривать как-то странно. Но у нас есть ограничение: исторически математика вырастает из потребностей практики, к которым в дальнейшем присоединяются потребности естественных наук. Так что вопрос не в том, можно ли создать бесконечно много разных математик, а в том, могут ли разные математики возникнуть в процессе исторического развития разных цивилизаций, в т.ч. и нечеловеческих. И тут, я думаю, приведенные цитаты про дельфинов и осьминогов достаточно красноречивы.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1156118 писал(а):

Но если определить язык формальной теории, а потом взять компьютер и заставить его генерировать аксиомы и правила вывода от балды, думаю, он за считанные секунды работы нагенерирует больше непротиворечивых систем, чем все математики человечества будут в состоянии исследовать.

У меня есть уверенность, что некоторые системы будут одинаково скучны всем возможным разумным существам. Например, система без аксиом, или система с предикатным символом $A$, константой $a$ и аксиомой $Aa$.

Anton_Peplov в сообщении #1156118 писал(а):

Можно ведь рассматривать только вычислимые действительные числа, а можно - все; только вычислимые сходящиеся последовательности вычислимых чисел, а можно - все; и т.д. Если в матане найдется хотя бы десять понятий, для которых можно независимо построить осмысленное сужение до вычислимости, то будет уже $2^{10}$ вариантов "частично конструктивного" матана. И, наверное, в каждом найдутся нетривиальные теоремы, которых в других вариантах нет (например, эффективно нулевые множества по Мартин-Лёфу обладают изумительным свойством: объединение всех эффективно нулевых множеств есть эффективно нулевое множество). Только где взять математиков, чтобы построить $2^{10}$ наук?

Ну вот смотрите, вы видите принципиальную возможность такого, и это уже говорит, что всё не так плохо: вряд ли другой разум тоже не сможет делать утверждения о теориях и выходить на метауровень. Так что если один из нас примет от другого что-то, частично напоминающее то, что есть, но частично отличающееся, то наверняка мы сможем, раз уж заметили общее и разницу, понять, какая именно модификация перед нами. Если только будет передано достаточно, чтобы вообще отличить одну теорию от другой.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1156231 писал(а):

У меня есть уверенность, что некоторые системы будут одинаково скучны всем возможным разумным существам. Например, система без аксиом, или система с предикатным символом $A$, константой $a$ и аксиомой $Aa$.

"Некоторые" отнюдь не значит "большинство ранее не изученных человечеством". Думаю, нагенерируется десять в лохматой степени систем, которые были бы интересны одним существам и не интересны другим. Интерес - категория эстетическая. А насколько отличается эстетика даже разных культур Земли, хорошо известно. По утверждению Шпенглера (лично не проверял), европейцы даже не отличают "грустную" китайскую музыку от "веселой", аналогично и китайцы - европейскую.

arseniiv в сообщении #1156231 писал(а):

если один из нас примет от другого что-то, частично напоминающее то, что есть, но частично отличающееся, то наверняка мы сможем, раз уж заметили общее и разницу, понять, какая именно модификация перед нами.

Э, нет. Чтобы показать, что теорий можно соорудить сколь угодно много, я привел в пример легкие модификации существующих теорий, просто потому, что ничего кардинально отличающееся от существующих теорий я привести в пример не могу по очевидным причинам. То, что приводил я - это как в шахматах изменить правила на один пункт и получить какие-нибудь шахматы Фишера. Но не из чего не следует, что математика инопланетян будет похожа на нашу больше, чем шахматы на водное поло или даже на балет.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1156265 писал(а):

Но не из чего не следует, что математика инопланетян будет похожа на нашу больше, чем шахматы на водное поло или даже на балет.

Это да, хотя значительные отличия мне кажутся невероятными. Но у меня за это тоже нет аргументов, и вторая часть ответа была потому о том, что мы узнаем частично сходную теорию, если она у них будет, хотя это, наверно, и так было очевидно.

[Dmitriy40]

Что-то мысли ушли далеко ввысь теории ... Упростим вопрос: можем ли мы представить ситуацию, когда математика не содержит натуральных чисел? Как тогда осуществлять счёт (и учёт количества) предметов? А предметы объективно существуют, их можно и потрогать и сосчитать, значит натуральные числа нужны и будут придуманы и использоваться. Нет? А из натуральных чисел вполне естественным образом возникают задачи оптимизации/минимизации и соответственно двоичная система. Т.е. база для обмена информацией всё же есть. Как перейти от натуральных чисел к диффурам и топологическим инвариантам - вопрос другой, может и есть разные несовместимые пути, я не знаю, но вот некая общая база по видимому есть всегда.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1156333 писал(а):

Упростим вопрос: можем ли мы представить ситуацию, когда математика не содержит натуральных чисел?

Хорошо известно, что в реальности их нет. Например, если взять очень много яблок, то они сколлапсируют в чёрную дыру, и такого количества яблок просто не будет.

Вот какие-то конечные подмножества натуральных чисел - наверняка существуют. Но и то, меня гложут сомнения: стулья квантово запутаны, фотоны между собой взаимодействуют...

[Dmitriy40]

Ну, поначалу, в качестве базы, (не)существование сколь угодно больших чисел роли не играет, как и бесконечность множества, главное чтобы существовали малые числа, в начале множества. Спасибо за уточнение про конечность подмножества, но думаю Вы прекрасно поняли о чём речь.

[Anton_Peplov]

В когнитивной психологии это называется предметностью восприятия. Мы воспринимаем мир составленным из отдельных предметов - вот яблоко, вот яблоня, вот небо, вот солнце. Поэтому для нас натуральные числа - интуитивно естественная вещь, а континуум - высокая абстракция. Интуитивное понятие о непрерывности хорошо передается звучанием этого слова - мы не видим разрывов, промежутков между точками. Это нам тоже привычно (например, небо в этом смысле "непрерывно", потому что мы видим его сплошным, а не составленным из точек), и эта интуиция может подвести нас к понятию рациональных чисел и множеств, "плотных" в том смысле, что между любыми двумя элементами найдется еще элемент, сказав, что между $1$ и $\frac{1}{2}$ лежит еще и $\frac{1}{3}$, между $1$ и $\frac{1}{3}$ лежит $\frac{1}{4}$ и так далее. Но вот тот факт, что континуум - не то же самое, что "плотное множество", резко контринтуитивен - помню, как он меня поразил в свое время. Бытовая интуиция не готовит нас к восприятию континуума. И к понятию непрерывной функции пришли медленно и трудно, через последовательности, используя в качестве костыля привычные и понятные натуральные числа.

Интересно было бы вообразить мир, в котором интуитивно ясным понятием был бы континуум и определенные на нем непрерывные функции, а натуральные числа - высокой абстракцией. Какая-нибудь мутная жидкая среда?

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1156337 писал(а):

Ну, поначалу, в качестве базы, (не)существование сколь угодно больших чисел роли не играет, как и бесконечность множества

Для нас, может, роли и не играет. А для математики - всё или ничего. Если нет сколь угодно больших чисел - это не $\mathbb{N}.$ Аксиоматика не выполняется, теоремы несправедливы, и вообще безобразие. Вот это надо про математику понимать.

[Anton_Peplov]

Наша математика без аксиомы Архимеда, конечно, рассыплется. Как минимум, $\mathbb N$ перестанет быть замкнутым по сложению и умножению, откуда проистечет труднопредставимый бардак.

Вот, кстати, вопрос. В текстах по истории математики я встречал утверждение, что древние греки тщательно избегали идеи неограниченного пространства - например, они говорили не о прямых, а только об отрезках, и постулат параллельности у Евклида в связи с этим формулировался каким-то замысловатым образом. Не знаю, когда и как победила идея о бесконечных прямых в неограниченном пространстве (подозреваю, что тут приложил руку Декарт, отождествивший прямую с числовой осью, но не возьмусь утверждать; буду признателен за ссылки на литературу). Проведем мысленных эксперимент. Допустим, панцирным стрекозоидам с планеты Плюх образ неограниченного пространства внушает непреодолимый ужас, а еще лучше - в принципе не может прийти в орган, эквивалентный голове. Смогут ли они построить математику, в которой есть числа, но нет неограниченных числовых множеств - не бесконечных нет, а именно неограниченных - так, чтобы эта математика обслуживала стрекозоидную физику, позволяющую послать сигнал инопланетянам? Моя интуиция говорит, что да. Но в связи с упоминавшимся бардаком, в который нашу математику приведет удаление из нее аксиомы Архимеда, стрекозоидная математика должна быть совсем не похожа на земную. Вплоть до того, что в ней не будет сложения, а будет какая-то неведомая нам операция.

И не говорите мне, что без сложения никак не обойдешься, потому что это самая простая и естественная операция - яблоко плюс яблоко равно два яблока. Это для нас она самая простая и естественная, а у стрекозоидов может быть иначе. Даже человеческий мозг, получив некоторые повреждения, может выкидывать неведомые фортеля. Тому порукой описанные Оливером Саксом счетчики, которые играют между собой, называя друг другу шестизначные простые числа, не будучи в состоянии при этом не только объяснить, чем именно эти числа отличаются от других, но и умножить пять на восемь. А при повреждении зрительной коры $V_5$ возникает такой любопытный феномен, как акинетопсия – невосприятие движения. В учебнике было написано примерно следующее: "пациент видит, что предметы меняют положение в пространстве, но не воспринимает это как движение". Я вообразить не могу, на что это может быть похоже (вики говорит, что на смену кадров, но...).

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1156384 писал(а):

Наша математика без аксиомы Архимеда, конечно, рассыплется. Как минимум, $\mathbb N$ перестанет быть замкнутым по сложению и умножению, откуда проистечет труднопредставимый бардак.

Хочу только добавить, что есть (упорядоченные) поля, в которых аксиома Архимеда не выполняется, и притом они включают $\mathbb N$ (на самом деле все упорядоченные поля включают $\mathbb N$ (задача в посте по ссылке и несколько ниже, источник определений указан в первом посте темы) (а также они все включают упорядоченное поле, изоморфное $\mathbb Q$)). Примеры — нестандартные вещественные числа, сюрреальные числа.

-- Вс окт 02, 2016 01:58:15 --

Anton_Peplov в сообщении #1156384 писал(а):

Вплоть до того, что в ней не будет сложения, а будет какая-то неведомая нам операция.

Можно и совсем избавиться от упорядоченности, допустив конечные поля. Можно ограничить применимость операций, как нам приходится делать с делением на ноль в полях. Ну и возможная куча чего-то немыслимого.

Anton_Peplov в сообщении #1156384 писал(а):

А при повреждении зрительной коры $V_5$ возникает такой любопытный феномен, как акинетопсия – невосприятие движения. В учебнике было написано примерно следующее: "пациент видит, что предметы меняют положение в пространстве, но не воспринимает это как движение". Я вообразить не могу, на что это может быть похоже (вики говорит, что на смену кадров, но...).

Неизвестно, связана ли эта область как-то с предсказанием будущего положения предметов (не обязательно видимых — возможно, и своего тела)? Если да, то действительно должно быть занятно — вспоминается ошибка, на которой построена апория о стреле. Возможно, для людей с такими нарушениями эта апория может казаться весьма убедительной (по модулю их образования, т. к. меня в своё время эта апория поставила в тупик, а потом через несколько лет обнаружилось, что кристально ясно, что в ней не так).

[rockclimber]

От математических дебрей я далек, но есть еще вопрос, попроще. Возможна ли физика без использования целых чисел? Ведь физика, если кратко, построена на экспериментах. Эксперимент - это наблюдение и измерение (чем точнее, тем лучше), измерение требует задания единиц измерения, то есть естественным образом возникает число $1$. Где ошибка в этой цепочке? Или, точнее, что может пойти иначе? Я пробовал представить, как оперировать действительными числами, не зная ничего о целых, пробовал представить физику без измерений и единиц измерений. Сломал мозг, но так ничего и не придумал. Даже не знаю, с чего начать.

[arseniiv]

rockclimber в сообщении #1156393 писал(а):

Или, точнее, что может пойти иначе?

А дальше нам не обязательно рассматривать суммы единиц как-то по-особому. Мы можем задать упорядоченное поле (опять они, что ж такое! ) аксиомами, с помощью которых нельзя будет никак выразить отношение «$x$ — натуральное/целое число», хотя единица нам будет явственно видна. И отдельные суммы единиц. Вот чтобы любую такую сумму единиц отделить от остальных элементов, надо будет как-то аккуратно запихнуть в нашу систему индукцию.

А вот если физика не будет требовать упорядоченности или того, чтобы кольцо значений физических величин было полем… но тут я додумывать за иной разум не буду.

[Munin]

Эксперименты надо уметь считать :-)