Простое док-во

[sa233091]

Я хочу сделать заявление о том, что ввел вас в заблуждение фразой <<при достаточно больших $\[n\]$ >>:
Я имел в виду, что аппроксимация $\[\pi (n) \sim \frac{n}{{10}}(n \to \infty )\]$ не верна. Т.к. предел $\[{\lim _{n \to \infty }}\frac{{\pi (n)}}{{\frac{n}{{10}}}} = 0 \ne 1\]$ и собственно именно это я и хотел доказать не пользуясь тем, что $\[{\lim _{n \to \infty }}\frac{{\pi (n)}}{{\left( {\frac{n}{{\ln (n)}}} \right)}} = 1\]$.
А вообще все началось с доказательство того, что найдутся 100 подряд идущих составных чисел, я конечно знаю элементарное приведение этих чисел, но решил попробовать доказать от противного а пусть среди 100 чисел есть простое всегда. Тогда $\[{\lim _{n \to \infty }}\frac{{\pi (n)}}{{\frac{n}{{100}}}} = 1\]$, что должно быть не верно. Хотел решить задачу с помощью ряда обратных простых и его связью с гармоническим рядом или получить противоречие со стороны разложения дзетта-функции в произведение по формуле Эйлера.
Но у меня ничего не вышло.

[grizzly]

sa233091 в сообщении #1156194 писал(а):

а пусть среди 100 чисел есть простое всегда. Тогда $\[{\lim _{n \to \infty }}\frac{{\pi (n)}}{{\frac{n}{{100}}}} = 1\]$

Старайтесь выражаться аккуратнее: ... Тогда $\displaystyle\[{\varliminf _{n \to \infty }}\frac{{\pi (n)}}{{\frac{n}{{100}}}} \ge 1\]...$

[mihaild]

vorvalm в сообщении #1156179 писал(а):

mihaild использует известную теорему Мертенса

А что за теорема? Гугл находит только теорему об умножении абсолютно сходящегося ряда на сходящийся.
Ну и вообще утверждение о "замене асимптотики на ряд интервалов" выглядит слишком тривиальным, чтобы быть именной теоремой (хотя тут могу ошибаться, конечно).

(от подсчета я в итоге избавился)

[sa233091]

mihaild в сообщении #1155913 писал(а):

$\varphi(p_{257}\#) = x \cdot p_{257}\#$

Я забыл, что значит #. Поясните пожалуйста.

[vorvalm]

sa233091 в сообщении #1156253 писал(а):

Я забыл, что значит #. Поясните пожалуйста

Приведенное выражение mihaild весьма авторизовано.
Решетка, стоящая после простого числа $257\#$ называется
праймориал (primorial) и означает произведение простых чисел от 2 до 257.

[vorvalm]

mihaild в сообщении #1156211 писал(а):

А что за теорема?

Теорема Мертенса (1847г.) доказывает , что:

$$\frac{\varphi(p_r\#)}{p_r\#}=\prod_2^{p_r}(1-\frac {1} {p_r})\sim\frac{e^{-C}}{\ln{ p_r}}$$

где С - постоянная Эйлера.
(Прахар. Распределение простых чисел.)

[Xaositect]

Использовалось только первое равенство, оно очевидно.

[vorvalm]

Xaositect в сообщении #1156270 писал(а):

Использовалось только первое равенство, оно очевидно.

Доказательство mihaild весьма куцее.
Функция Эйлера по модулю $p_r\#$ дает число взаимно простых
чисел приведенной системы вычетов (ПСВ), куда входят простые числа от $p_{r+1}$
до $p_n<p_r\#$. Но в этой ПСВ нет простых чисел, составляющих модуль.
Следовательно, использовать функцию Эйлера в данном счлучае весьма проблематично.
,

[Xaositect]

В задаче требуется дать верхнюю оценку. Все простые числа, большие $p_r$, взаимно просты с $p_r\sharp$. Значит, если мы оценим их количество, то оценим и количество простых чисел.

[vorvalm]

Xaositect в сообщении #1156273 писал(а):

Значит, если мы оценим их количество, то оценим и количество простых чисел.

А что делать с простыми от $2$ до $p_r$?

[Xaositect]

Их можно прибавить, их мало.
Таким образом получается линейная оценка $\pi(n) \leq r + \varphi(p_r\sharp) \left\lceil \dfrac{n}{p_r\sharp} \right\rceil$ (для любого $r$). У mihaild там еще есть немного рассуждений, чтобы привести это к удобному виду - убрать $r$ и $\lceil \cdot \rceil$ за счет небольшого увеличения коффициента.

Кстати, эти рассуждения вообще говоря можно упростить, и тогда решение не будет таким громоздким. Если , то $c + a\lceil\frac{n}{b}\rceil < c + a + \frac{a}{b} n$, что меньше $kn$ при $k > \frac{a}{b}$ и достаточно больших $n$. То есть для доказательства $\pi(n) < kn$ достаточно найти $r$ такое, что $\prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{p_i}) < k$

[vorvalm]

Xaositect в сообщении #1156278 писал(а):

Таким образом получается линейная оценка

Но эта оценка не по простым, но по взаимно простым.
Вы можете указать, какую часть составляют простые числа в ПСВ?

[Xaositect]

vorvalm в сообщении #1156282 писал(а):

Но эта оценка не по простым, но по взаимно простым.

Это оценка количества простых сверху, с помощью подсчета взаимно простых.

vorvalm в сообщении #1156282 писал(а):

Вы можете указать, какую часть составляют простые числа в ПСВ?

Этого в задаче не требуется.

[vorvalm]

Xaositect в сообщении #1156285 писал(а):

Это оценка количества простых сверху, с помощью подсчета взаимно простых

Но эта оценка на столько грубая, что получается

$$\frac{\pi(n)}{n}<0,1$$

при $257\#$, тогда как на самом деле

$$\frac{\pi(n)}{n}<0,1$$

достигается при $17\#$.