Пескин и Шредер: экспоненцирование диаграмм

[Ascold]

Я понимаю вопрос так: пусть у нас есть диаграммы со связными и несвязными частями, вклады которых будут $S__k$ и $V_i$ соответственно. Тогда каждая диаграмма даст вклад

$$S_k\cdot\prod\limits_i\frac{V_i^{n_i}}{n_i!},$$

а все диаграммы -

$$\sum\limits_kS_k\cdot\prod\limits_i\frac{V_i^{n_i}}{n_i!},$$

что более верно было бы написать как

$$\sum\limits_kS_k\cdot\prod\limits_i\frac{V_i^{n_{ki}}}{n_{ki}!},$$

поскольку число несвязных элементов каждого типа $n_i=n_{ki}$ будет разным для каждой связной части диаграммы $S_k$. Поскольку амплитуда двухточечная, то у каждой диаграммы обязательно будет одна связная часть, потому индекс $k$ нумерует диаграмму.
Но Пескин и Шредер оформляют это иначе. Что значит фраза в преддверии формулы (4.52): "суммирование по всем упорядоченным наборам {$n_1,n_2, n_3...$} неотрицательных целых чисел"? Никак не пойму, откуда два суммирования: ведь складываем мы разные диаграммы, а их части между собой перемножаем.

[amon]

Поскольку знатоки Пескина и Шрёдера молчат, то позволю себе высказать своё сугубое IMHO. Я (по диагонали) прочитал соответствующее место и, честно признаться, ни черта там не понял. Может я такой тупой, а может написано так. Соответствующая формула (про экспоненту от вакуумных петель) выведена у А.Н.Васильева в книжке "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике" на стр. 49-50. Там другие сложности, но мне по крайней мере понятно что там написано (если разобраться). Правда, может это потому, что Александр Николаевич когда-то в незапамятные времена мне про это лекции читал, а лектор - Васильев был лучше, чем писатель - Васильев.

[Ascold]

Прошло 2 года и я, кажется, понял, что имеется ввиду у Пескина и Шредера, кроме одного момента. Пескин и Шредер между (4.51) и (4.52) предлагают вычислять вклад диаграммы как произведение связной и несвязных частей.
Почему если у диаграммы есть $m$ одинаковых несвязных частей c вкладами $V$, то их вклад даётся множителем $V^m/m!,$ а не просто $V^m?$
Авторы пишут, что $1/m!$ множитель симметрии, происходящий от перестановок $m$ копий $V,$ однако я этого не понимаю. Рассмотрим, например, несвязную диаграмму в теории $\lambda\varphi^4$ в 3 порядке, происходящую от следующего выражения:

$$\frac{(-i\lambda)^3}{3!(4!)^3}\int\overset{\uparrow 1}{\varphi(x)}\overset{\uparrow 2}{\varphi(y)}\overset{\downarrow 2}{\varphi(z)}\overset{\downarrow 1}{\varphi(z)}\overset{\uparrow 3}{\varphi(z)}\overset{\downarrow 3}{\varphi(z)}\overset{\uparrow 4}{\varphi(w)}\overset{\downarrow 4}{\varphi(w)}\overset{\uparrow 5}{\varphi(w)}\overset{\downarrow 5}{\varphi(w)}\overset{\uparrow 6}{\varphi(u)}\overset{\downarrow 6}{\varphi(u)}\overset{\uparrow 7}{\varphi(u)}\overset{\downarrow 7}{\varphi(u)}dzdwdu,$$

где надбуквенными стрелками обозначены свёртки.
Несложно видеть, что эквивалентных свёрток будет $3!4\cdot3\cdot3,$ следовательно, вклад этих свёрток будет равен

$$\frac{(-i\lambda)^3}{3!}\cdot\frac{\cdot3!4\cdot3\cdot3}{(4!)^3}D(..-..)...=\int\frac{(-i\lambda)^3}{128}D(x-z)D(y-z)D(z-z)D^2(w-w)D^2(u-u)dzdwdu,$$

а диаграмма


Разбиваю расчёт на связную и несвязные части. Связная часть: $\varphi(x)$ можно 4 способами подцепить к одному из $\varphi(z)$, $\varphi(y)$ - тремя, вершину же посередине можно выбрать 3 способами(z,u,w), итого
получится

$$\frac{(-i\lambda)^3}{3!}\cdot\frac{1}{4!}\cdot12\cdot3$$

от связной части. Вершина первой несвязной части может быть выбрана 2 оставшимися способами, второй несвязной части - одним. Каждая из этих "восьмёрок" может быть порождена 3 перестановками в вершинных свёртках, т.е. несвязные части дают числовой множитель

$$\frac{1}{(4!)^2}\cdot2\cdot3^2.$$

Перемножаю числовые множители перед пропагаторами от связной и несвязных, получается

$$\frac{(-i\lambda)^3}{3!}\cdot\frac{1}{(4!)^3}\cdot12\cdot3!\cdot3^2=\frac{(-i\lambda)^34\cdot3^3}{(4!)^3}=\frac{(-i\lambda)^3}{128}.$$

При этом нигде мне не приходилось вводить для несвязных частей "симметрийный множитель от перестановки их вершин", равный, следуя Пескину, $1/2.$
Другой подход, когда в знаменателях от вершин множитель 4!, происходящий из гамильтониана, не пишут, а всюду подразумевают сокращённым с 4! перестановок множителей в вершине, деля это на симметрийный множитель диаграммы, равный здесь 4!/(число эквивалентных свёрток при данной вешине), тоже не приводит к необходимости делить несвязную часть на факториал числа несвязных одинаковых экземляров.
Что же тут не так?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[amon]

Pphantom в сообщении #1361175 писал(а):

Почему если у диаграммы есть $m$ одинаковых несвязных частей c вкладами $V$, то их вклад даётся множителем $V^m/m!,$ а не просто $V^m?$

Я Солженицина Пескина и Шредера не читал, но не одобряю предполагаю, что речь идет о сокращении вакуумных петель, иначе их утверждение становится просто неверным. Если Вы знаете формализм функционального интегрирования, то я берусь объяснить как сокращаются вакуумные петли в две-три строчки, если не знаете, то могу лишь посоветовать попробовать почитать другой учебник с этого места. Например, Боголюбова-Ширкова, или другой какой. Ну, не нравится мне Пескин со Шредером, которого я с Вашей подачи как-то открыл.

-- 14.12.2018, 01:58 --

Еще речь могла идти о связности логарифма S-матрицы. Тут двумя строчками не отделаешься.

[Ascold]

amon в сообщении #1361199 писал(а):

Если Вы знаете формализм функционального интегрирования, то я берусь объяснить как сокращаются вакуумные петли в две-три строчки, если не знаете, то могу лишь посоветовать попробовать почитать другой учебник с этого места.

К сожалению, пока не освоил этот подход. У Боголюбова и Ширкова это место тоже не очень объяснено. Однако до ответа на вопрос о происхождении факториала я догадался сам, всё чрезвычайно просто, главное - с умом подходить к циркулирующей по учебникам фразе: "факториал в знаменателе разложения хронологической экспоненты почти всегда сокращается с числом перестановок вершин".
Когда у нас есть несколько копий одинаковых несвязных частей, как, например, в моём примере, две восьмёрки, то перестановки несвязных вершин не соответствуют разным свёрткам: вот вершину связной части $z$ я могу выбрать 3 способами, что же касается несвязных частей, то напрашивается мысль, что в первой восьмёрке две возможности выбора, во второй - одна и всего по-прежнему 3!, но это неверно.
Замена первой вершины приводит к разных свёрткам(хоть и на топологически эквивалентных диаграммах), "восьмёрки" же - вещи в себе, их перестановка на рисунке не означает каких-либо новых свёрток, поскольку

$$\intD(w-w)\cdotD(w-w)D(u-u)\cdotD(u-u)dwdu=\intD(u-u)\cdotD(u-u)D(w-w)\cdotD(w-w)dwdu$$

соответствуют одной и той же свёртке полей

$$\overset{\uparrow 4}{\varphi(w)}\overset{\downarrow 4}{\varphi(w)}\overset{\uparrow 5}{\varphi(w)}\overset{\downarrow 5}{\varphi(w)}\overset{\uparrow 6}{\varphi(u)}\overset{\downarrow 6}{\varphi(u)}\overset{\uparrow 7}{\varphi(u)}\overset{\downarrow 7}{\varphi(u)},$$

не меняющейся при замене u на w, т.к. "номерки свёртки" условны, умножение коммутативно, а интегрирование
пропагаторов вида $D(v-v)$ сводится к $\int \tilde{D}(q)\tilde{D}(p)dqdpdudw,$ без координтат в подынтегральном выражении, следовательно, написать, что вершину первой несвязной части можно выбрать двумя способами - значит фактически учесть соотв. вклад дважды.
Чтобы не думать о правильно множителе Пескин и Шредер предлагают рецепт - не думая, приписывать к связной части в n-м порядке множитель n!, а затем, при учёте m несвязных частей, "вспоминать" об их излишнем учёте делением на m!.