2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 16  След.
 
 
Сообщение25.04.2008, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Macavity писал(а):
Существует более чем достаточно аксиоматик теории множеств и пока никто не доказал, какая из них самая главная.


Что значит - "главная"? Общепринятых - две (ZFC и GB). Они не эквивалентны, но разница невелика. При необходимости допускаются дополнительные аксиомы.

Macavity писал(а):
В том числе неоднократно осуществлялись попытки избавиться от бесконечностей, прийти к конструктивизму, интуицивизму и т.д. и т.п.


К теории множеств всё названное Вами имеет достаточно отдалённое отношение.

Macavity писал(а):
Сама по себе задача находится на грани фола, потому и возникают проблемы.


Элементарная задача по теории множеств, однозначно решаемая даже без формализации.

Macavity писал(а):
Someone писал(а):
Обсуждаемое построение как раз является примером такого бесконечного построения и, строго говоря, его нужно формализовать, чтобы никаких бесконечных рассуждений при этом не возникало.

Фактически здесь по индукции строится последовательность множеств $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_k,\ldots$ следующим образом:
1) $A_0=\varnothing$;
2) $A_k=(A_{k-1}\cup\{10k-9,10k-8,\ldots,10k\})\setminus\{k\}$ при $k\geqslant 1$.
Задача же состоит в вычислении множества $A=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k$.


Формализуя рассуждение Вы как раз и пользуетесь предельным переходом, что видно уже из Вашей формальной записи, да ещё и на индукцию ссылаетесь...


Индукция - это не предельный переход, это способ записать в конечном виде высказывание, касающееся элементов бесконечного множества. В арифметике есть специальная аксиома индукции. В теории множеств аксиомы индукции нет, потому что она является теоремой. И вообще я не понимаю, где Вы тут предельный переход увидели. Если Вы об объединении или пересечении бесконечного набора множеств, то никакого предельного перехода тут совершенно точно нет.

Macavity писал(а):
Сами по себе понятия связанные с понятием бесконечности неоднозначны в математике. Например, в евклидовой геометрии говорить о бесконечно удаленной точке не принято, её как бы и нет, а в проективной геометрии она вводится и система окресностей для бесконечно удаленной точки имеет тот же вид, что для любой другой "бесконечно неудаленной".


Вы здесь что-то путаете. Это не неоднозначность. В евклидовой геометрии не принято говорить о бесконечно удалённой точке просто потому, что в евклидовой геометрии такой точки нет, и говорить не о чем. В проективной геометрии тоже нет никакой бесконечно удалённой точки.

Macavity писал(а):
по сути "бесконечность" в каждом из случаев имеет различный смысл.


Безусловно.

Добавлено спустя 57 минут 41 секунду:

AD писал(а):
Henrylee писал(а):
Разве "пустота" нижнего предела не проверяется непосредственно?
Конечно, проверяется. Только вот Someone предложил трактовку условия, в котором на него вообще внимания не обращается ... Ну ладно, проехали, действительно.


Замечание насчёт разницы между нижним и верхним пределом было бы существенным, если бы шары, вынутые из ящика, могли в него потом возвращаться. В данном же случае однажды вынутый шар вынут навсегда, поэтому верхний и нижний пределы совпадают.

P.S. Специально для некоторых (не AD и не Henrylee) хочу сказать, что термины "верхний предел" и "нижний предел" для последовательности множеств $\{A_n:n\in\mathbb N\}$ не означают никакого предельного перехода:
$\varlimsup A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_n$ - множество тех элементов, которые принадлежат бесконечному семейству множеств $A_n$,
$\varliminf A_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_n$ - множество тех элементов, которые принадлежат всем множествам $A_n$, кроме конечного числа.

Добавлено спустя 16 минут 38 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):
А что если не будем ложить десять шаров и вынимать один. Берем по десять из кучи, но в ящик ложим лишь 9, а номера 10,20,30 и т.д. кратные 10 - складывать возле, как будто они их только что вытащили из ящика .

Чтобы удовлетворять условиям задачи, наймем Чертика чтобы он на первом шаге

а) стер нолик у шара №10 возле ящика и превратил его в №1, затем
б) прыгнул внутрь ящика и сложенные шарики перенумеровал так, чтобы внутри были номера с 2 по 10.

На втором шаге соответственно стер нолик у шара №20 -->2 и выдал номера с 3 по 20 шарикам внутри. И вообще пусть он на каждом шаге следит за тем, чтобы чтобы нумерация шариков внутри и снаружи ящика была "правильной".

1) Сколько шариков будет в ящике по "истечении времени"?
2) Можно ли назвать хоть один номер "внутри" ящика?.


1) Бесконечное множество.
2) Нельзя.

Можно поступить ещё интереснее. Положим в ящик один шар и не будем его больше оттуда вынимать и никакие другие шары класть не будем.
На первом шаге напишем на шаре номер 1. На втором шаге этот номер сотрём и снова напишем номер 1. И вообще, на каждом шаге будем стирать написанную единицу и писать заново. Что будет написано на шаре по истечении бесконечной последовательности шагов?

Dan B-Yallay писал(а):
А еще интереснее если менять задачу не так радикально. Пусть мы складываем десять и вынимаем один как и положено. Просто в момент когда мы положили очередные десять шаров в урну, Чертик сидящий внутри мгновенно перенумеровал шарики в "обратном" порядке и мы, не зная этого, вынимаем не тот шар который нам нужен, а последний в только что положенной десятке. Будет ли такая постановка задачи парадоксом?


По-моему, такая постановка эквивалентна тому, что Вы написали выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 07:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Someone писал(а):
Dan B-Yallay писал(а):

1) Сколько шариков будет в ящике по "истечении времени"?
2) Можно ли назвать хоть один номер "внутри" ящика?.


1) Бесконечное множество.
2) Нельзя.

Можно поступить ещё интереснее. Положим в ящик один шар и не будем его больше оттуда вынимать и никакие другие шары класть не будем.
На первом шаге напишем на шаре номер 1. На втором шаге этот номер сотрём и снова напишем номер 1. И вообще, на каждом шаге будем стирать написанную единицу и писать заново. Что будет написано на шаре по истечении бесконечной последовательности шагов?

Dan B-Yallay писал(а):
А еще интереснее если менять задачу не так радикально. Пусть мы складываем десять и вынимаем один как и положено. Просто в момент когда мы положили очередные десять шаров в урну, Чертик сидящий внутри мгновенно перенумеровал шарики в "обратном" порядке и мы, не зная этого, вынимаем не тот шар который нам нужен, а последний в только что положенной десятке. Будет ли такая постановка задачи парадоксом?


По-моему, такая постановка эквивалентна тому, что Вы написали выше.


Вы правы, они эквивалентны. Являются ли они эквивалетными задаче в оригинальной формулировке и есть ли тут парадокс? Вот как она была поставлена Коровьевым:

Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?


Ведь наблюдатель-математик, который не знает ничего про чертика, будет доказывать, что в ящике после бесконечного числа шагов ничего нет, так как все пронумерованные шары находятся снаружи. И будет прав, как и многие высказавшиеся выше.
Для того же кто знает о чертике (или вообразил его - так же как мы воображаем бесконечное число действий до полудня), в ящике будет бесконечно много шаров у которых "нельзя определить номер". И еще бесконечно много пронумерованных подряд шаров, разбросанных вокруг ящика. Судя по Вашему ответу, он тоже будет прав.

То есть результат зависит от нашего воображения, или я по своей наивности чего-то упускаю?
......
PS Ваш пример с написанием и стиранием номера - это тот же что и про лампочку, которая горит полминуты, затем отключается на четверть минуты, затем опять горит 1/8 мин, и так далее. Будет ли лампочка гореть по истечении 1 минуты.

Мне кажется Литтлвудский пример и лампочка - родственные, но не идентичные парадоксы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 14:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Пусть действие происходит по шагам. Шаги и шары нумеруются с нуля.

На шаге $t$ ангел засыпает в ящик 10 шаров с номерами от $10t$ до $10t+9$. После этого чёртик, сидящий в ящике, для каждого $n$, такого что шар с номером $n$ лежит в ящике, вычисляет натуральные числа $x_n$ и $y_n$, для которых

$$
n = \frac{(x_n+y_n)^2+3x_n+y_n}{2}
$$

и выкидывает из ящика все шары с наименьшим значением $x_n$.

Сколько шаров останется в ящике после того, как процесс завершится?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 16:08 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Dan B-Yallay писал(а):
Ведь наблюдатель-математик, который не знает ничего про чертика, будет доказывать, что ...
Dan B-Yallay писал(а):
Для того же кто знает о чертике (или вообразил его - так же как мы воображаем бесконечное число действий до полудня), ...
1. Разные постановки задачи - разные решения.
2. Попробуйте формализовать чертика.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Dan B-Yallay писал(а):
Вы правы, они эквивалентны. Являются ли они эквивалетными задаче в оригинальной формулировке


Нет, не являются.

Dan B-Yallay писал(а):
Ведь наблюдатель-математик, который не знает ничего про чертика, будет доказывать, что в ящике после бесконечного числа шагов ничего нет, так как все пронумерованные шары находятся снаружи. И будет прав, как и многие высказавшиеся выше.


Нет. В данном случае рассуждения будут ошибочными, поскольку они не соответствуют тому, что происходит на самом деле. Рассуждение идёт всё-таки о шарах, а не о номерах, а номера используются просто для идентификации шаров. Если Вы начинаете путать номера на шарах, то идентификация шаров разрушается, и рассуждения, основанные на номерах, перестают соответствовать происходящему с шарами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 06:32 


14/03/08
65
Господа, Вы тут спорите, строите разные умные гипотезы, пишете сложные формулы, не замечая ясных как день фактов: НЕ СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНЫХ КОРОБОК. НЕ СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНОГО КОЛИЧЕСТВА ШАРОВ. НИ НА КАКОМ ШАРЕ НЕ ПОЛУЧИТСЯ НАПИСАТЬ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЕ ЧИСЛО. НЕВОЗМОЖНО ПОМЕСТИТЬ И ВЫНУТЬ ИЗ УРНЫ ШАР ЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ВРЕМЯ. Условия этой задачи не описывают реальный мир, ответ этой задачи не может быть числом, имеющим отношение к реальному миру.

с Уважением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 06:39 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Pulsar!, ну и что? А причем здесь вообще реальный мир? Реальный мир у нас в физическом разделе. Отлично мы всё это понимаем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 09:55 


29/10/07
71
Ялта
PAV писал(а):
А вот вероятностная модель, которую предложила shwedka, приводит к красивой задаче, которую даже на олимпиадах давать можно. Итак, на каждом шаге у нас добавляется 10 очередных шаров, а один случайным образом извлекается. Поскольку число шаров в урне конечно, то извлекаем просто с равной вероятностью.

Пусть некоторый шар попал в урну на шаге $N$. Вероятность того, что его не извлекут на "первом" (относительно $N$) шаге, равна $1-\frac{1}{10N}$, на втором - $1-\frac{1}{10(N+1)}$ и так далее. Отсюда вероятность того, что его не извлекут никогда, равна произведению
$$
\prod\limits_{k=N}^\infty\left(1-\frac{1}{10k}\right) = 0.
$$

Математическое ожидание количества шаров в полдень равно сумме по всем шарам таких вероятностей, т.е. ноль.


Получается, что даже если не нумеровать шары, в полдень все равно ничего не останется?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Sinus писал(а):
Получается, что даже если не нумеровать шары, в полдень все равно ничего не останется?
В этом примере шары фактически пронумерованы.
Важен не номер на шаре, а то, что все шары индивидуальны, отличаются друг от друга.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 10:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Sinus писал(а):
Получается, что даже если не нумеровать шары, в полдень все равно ничего не останется?


С вероятностью 1. Это не то же самое, что "обязательно".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 14:51 


14/03/08
65
AD писал(а):
Pulsar!, ну и что? А причем здесь вообще реальный мир? Реальный мир у нас в физическом разделе. Отлично мы всё это понимаем.

Так и не надо просить о реальном ответе..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 14:56 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Pulsar!
Цитата:
Так и не надо просить о реальном ответе..

+1.
Я и не прошу ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Someone писал(а):
... рассуждения будут ошибочными, поскольку они не соответствуют тому, что происходит на самом деле. Рассуждение идёт всё-таки о шарах, а не о номерах, а номера используются просто для идентификации шаров. Если Вы начинаете путать номера на шарах, то идентификация шаров разрушается, и рассуждения, основанные на номерах, перестают соответствовать происходящему с шарами.


Понятно, я ошибочно думал, что нумерация и есть едиственный способ эти шары идентифицировать, и что по-другому их различить невозможно.

В связи с тем, что у людей уже сворачиваются уши в трубочку, хочу сказать сразу, что у меня нет проблем с ответом "ноль шаров в корзине в полдень". В конце концов если не заморачиваться, и на первом же шаге бухнуть ВСЕ шары в ящик и вынимать их оттуда подряд за 1/2 мин до полудня, за 1/3 и т.д. то на каждом шаге ящик будет содержать "больше" шаров чем в исходном варианте задачи. И потому в полдень в ящике должно быть по крайней мере "не меньше", чем если бы мы поэтапно ложили по 10 и вынимали по одному. В принципе, можно поменять формулировку так, чтобы на каждом шаге ложить в корзину бесконечно много шаров и вынимать один и все равно корзина в обед будет пустой.

У меня затруднения в следующем: допустим у нас есть бесконечная корзина со счетным количеством непронумерованных абсолютно идентичных шаров. Некто, пронумеровывает их "в уме" и начинает вытаскивать подряд по одному - в соответствии со своей нумерацией, опустошая корзину к обеду.
Окажется ли корзина пустой для стороннего наблюдателя, который перенумеровал шарики "в уме" в ином порядке? Очевидный ответ - ДА, если наблюдатель задал нумерацию в начале и придерживается ее в течение всего процесса.

Но как быть с тем, кто завел себе чертика в голове, постоянно меняет/сдвигает свою мысленную нумерацию и каждому вынутому шару дает неповторяющийся четный номер.

Чего-то я не улавливаю. Проблема с актуальной и потенциальной бесконечностями. Интуитивно понятно, что мысленная нумерация "на ходу" ни к чему хорошему не приводит, но вот почему? В конце концов сами то шарики и порядок их вынимания от этого не меняются?(Чую - пора опять зубрить матчасть, чортов склероз ) :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 07:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Dan B-Yallay писал(а):
У меня затруднения в следующем: допустим у нас есть бесконечная корзина со счетным количеством непронумерованных абсолютно идентичных шаров. Некто, пронумеровывает их "в уме" и начинает вытаскивать подряд по одному - в соответствии со своей нумерацией, опустошая корзину к обеду.
Окажется ли корзина пустой для стороннего наблюдателя, который перенумеровал шарики "в уме" в ином порядке? Очевидный ответ - ДА, если наблюдатель задал нумерацию в начале и придерживается ее в течение всего процесса.

Но как быть с тем, кто завел себе чертика в голове, постоянно меняет/сдвигает свою мысленную нумерацию и каждому вынутому шару дает неповторяющийся четный номер.


Проблем не будет, если следить за действиями чёртика и помнить всю историю того, как он "перераспределял номера".

Вот похожая "проблема". Пусть числовая последовательность $\{ x_n \}$ сходится к $x$. Тогда для произвольной перестановки натурального ряда $f$ последовательность $\{ x_{f(n)} \}$ также сходится к $x$. Однако если $\{ f_t : t \in \mathbb{N} \}$ --- целое семейство различных перестановок натурального ряда, то последовательность $\{ x_{f_n(n)} \}$ может уже никуда не сходиться, или сходиться к чему-то, отличному от $x$. Как здесь можно увидеть что-то парадоксальное --- не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Профессор Снэйп писал(а):
Как здесь можно увидеть что-то парадоксальное --- не понимаю.


Затруднения =/= парадокс. :D

Задача свелась к следующему:

Вопрос: - Дано бесконечное счетное множество N. Из него вычли бесконечно много элементов. Что осталось?
Ответ: - Ну если вы все-все подряд элементы вытаскивали, тогда от N ничего не останется.
Вопрос: - А если мы как-то хитрили или вообще понятия не имеем, подряд или неподряд?
Ответ - А тогда хрен его знает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 232 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 16  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group