Модуль и тригонометрия с параметром

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1153872 писал(а):

А как из того, что $9>4+3+1$ следует минимальность функции в точке $x=3$ ?

А вы рассмотрите луч слева от $3$ , один модуль раскроется однозначным способом, а как раскроются при этом остальные модули, этому модулю глубоко наплевать - он тут главный и именно он определяет характер монотонности. То же самое - и справа от $3$.

[gris]

Во-первых, она там максимальна, но одна максимальность ничего не даёт, разве что существование корней путём анализа значения функции в точке $x=3$. Ну хоть порисуйте графики. А то попадётся задача с пятью модулями. Неравенство $9>...$ говорит о двухкусочной строгой монотонности. В этом соль.
Насчёт производных: в принципе можно выкинуть все точки изломов. На интервалах кусочно производная существует и знак её тоже легко определяется. Раскрытия требует всего один модуль.
++ Ой.

[stedent076]

Brukvalub
Ок. Все понятно. А что дает двухкусочная строгая монотонность?

[gris]

Она даёт возможное количество корней.

[stedent076]

gris
Т.е. Слева и справа от $3$, в некоторой окрестности этой точки функция пересекает ось икс в некоторых точках. И кроме этого корней нет?

[gris]

Значение при $x=3$ зависит от $a$. Но вопрос-то про ровно три корня. Тут и нестрогая монотонность подойдёт. Попробуйте нарисовать эскиз графика с разным количеством корней. Ни одного, один, два, три, бесконечно много.
Опять произведу брюзжание: но что это за "в некоторой окрестности" в некоторых точках? Когда говорят в "некоторой окрестности", подразумевают "в каждой точке этой окрестности". Даже уточняют про возможные исключения.

[stedent076]

gris
у $f(x)$ будет только два корня.

[gris]

А как Вы это узнали? И зачем?

[stedent076]

gris
Потому что функция слева и справа от точки $x=3$ монотонна возрастает и убывает соответственно. Поэтому она пересечет ось $oX$ в двух точках.

[gris]

А если точка максимума расположена на оси абсцисс или ниже её? Ведь если к правой части нашего уравнения добавить $5$, то все рассуждения останутся прежними, а корней может быть и один. В Вашем уравнении точка максимума действительно лежит выше оси при любом $a$, но это же надо доказывать. А зачем делать лишнюю работу? Нам достаточно показать, что трёх корней быть не может.

[stedent076]

gris
А как ее избежать?

[gris]

Значение <нашей>функции в точке максимума может быть положительным, отрицательным или равным нулю. То есть два, ноль и один корень. Трёх не получается никогда. Мне кажется, что это показать легче, чем рассматривать выражение с модулями. Кроме того, его можно сделать таким, что и не определишь, когда оно там больше нуля, а когда меньше. Например, если в правую часть добавить $a^3$.
В общем, от решения задачи будет больше толку, если пошевелить её условия, понять, как работает метод решения и его сущность. Может быть, это и лишнее.

[stedent076]

gris

gris в сообщении #1154039 писал(а):

трёх не получается никогда

Да я думал об этом, но чувство дилетантизма в этой теме и прочие задачи с параметрами, решенные мной, не дали мне высказать эту идею. В итоге $a\in\varnothing $?

[gris]

Да. И добавлю своё восхищение Вашей работоспособностью! Дилетантизм обязательно уступит место мастерству.

[stedent076]

gris
Спасибо, приятно такое слышать). Brukvalub gris, благодарю за помощь)