Модуль и тригонометрия с параметром

[stedent076]

Здравствуйте! Имею две такие задачи.
1)При каких значениях $a$ множество решений неравенства содержит промежуток $[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}]$
$\dfrac{a-(a^2-2a-3)\cos x+4}{\sin^2x+a^2+1}<1$
Вопрос: можно ли рассмотреть неравенство $\cos^2x-(a^2-2a-3)\cos x+2+a-a^2<0$. Или, из-за немонотонности косинуса оно будет неравносильно исходному?
2)При каких значениях параметра $a$ уравнение$4x-9|x-3|=|3x-|x+a||$ имеет ровно три корня?
Вопрос: можно ли решить это, без раскрытия модуля с последующим переходом к совокупностям систем?

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1153395 писал(а):

Или, из-за немонотонности косинуса оно будет неравносильно исходному?

А при чем здесь "немонотонность косинуса"? Речь идет об операциях с числовыми неравенствами...

stedent076 в сообщении #1153395 писал(а):

При каких значениях параметра $a$ уравнение$4x-9|x-3|=|3x-|x+a||$ имеет ровно три корня?
Вопрос: можно ли решить это, без раскрытия модуля с последующим переходом к совокупностям систем?

Это известная задача, главное в ней, это то, что $9>4+3+1$, затем нужно использовать монотонность.

[sa233091]

Косинус немонотонный?

[stedent076]

Brukvalub
ок, спасибо)
sa233091
Со слов моей учительницы по математике – да

[sa233091]

В первом преобразование верно

-- 21.09.2016, 23:06 --

Сейчас напишу решение первого

[arseniiv]

sa233091 в сообщении #1153400 писал(а):

Косинус немонотонный?

А зачем вы спрашивали?

[sa233091]

$\dfrac{a-(a^2-2a-3)\cos x+4}{\sin^2x+a^2+1}<1$
Так как {\sin ^2}x + {a^2} + 1 > 0, то можно умножить обе части уравнения на $\sin ^2x + {a^2} + 1$ Получим:
$a-(a^2-2a-3)\cos x+4<\sin ^2x + {a^2} + 1$
Подставляя $\[{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\]$, получим:
$\cos^2x-(a^2-2a-3)\cos x+2+a-a^2<0$
Делаем замену $\[\cos x = t\]$:
$\[{t^2} - ({a^2} - 2a - 3)t + 2 + a - {a^2} < 0\]$
Пусть уравнение имеет корни $\[{t_1},{t_2}\]$, решение неравенства - $\[({t_1};{t_2})\]$.
То есть $\[{t_1} < \cos x < {t_2}\]$ Так как интервал $[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}]$ должен попасть в решение, то нижняя граница $\[{t_1} \leqslant \cos \frac{\pi }{2} = 0\]$ верхняя граница $\[{t_2} \geqslant \cos - \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\]$
Иными словами нам надо, чтоб корни уравнения $\[{t^2} - ({a^2} - 2a - 3)t + 2 + a - {a^2} < 0\]$ должны лежать по разные стороны интервала $\[(0;0.5)\]$
Если нарисовать эту парабулу, ты вы поймете, что это равносильно системе (пусть $\[F(t) = {t^2} - ({a^2} - 2a - 3)t + 2 + a - {a^2}\]$)
$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {F(0) \leqslant 0} \\ {F(0.5) \leqslant 0} \end{array}} \right.\]$
Ну эта система несложно решается относительно а.

[stedent076]

sa233091
Этот прием я знаю). Было интересно, можно ли его применять к данной задаче

[Brukvalub]

sa233091 в сообщении #1153413 писал(а):

Иными словами нам надо, чтоб корни уравнения $\[{t^2} - ({a^2} - 2a - 3)t + 2 + a - {a^2} < 0\]$ должны лежать по разные стороны интервала $\[(0;0.5)\]$
Если нарисовать эту парабулу, ты вы поймете, что это равносильно системе (пусть $\[F(t) = {t^2} - ({a^2} - 2a - 3)t + 2 + a - {a^2}\]$)

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {F(0) \leqslant 0} \\ {F(0.5) \leqslant 0} \end{array}} \right.\]$$

За такое решение полный балл не получить, в нем есть АшиПки.

[Someone]

stedent076 в сообщении #1153416 писал(а):

Этот прием я знаю). Было интересно, можно ли его применять к данной задаче

А почему нет?

sa233091 в сообщении #1153413 писал(а):

верхняя граница $\[{t_2} \geqslant \cos - \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\]$

Совершенно точно не меньше. И даже ещё не меньшее.

[sa233091]

Так решение правильное или нет?

[Lia]

sa233091 в сообщении #1153406 писал(а):

Сейчас напишу решение первого

Вас о нем никто не просил.

sa233091
Предупреждение за решение учебной задачи, верное или нет - не имеет значения.

[Someone]

sa233091 в сообщении #1153434 писал(а):

Так решение правильное или нет?

Вам же Brukvalub ответил. А я постарался намекнуть, где ошибка.

И на будущее имейте в виду, что в разделе "Помогите решить / разобраться" право излагать решение закреплено исключительно за ищущим помощи (с некоторыми исключениями, когда спросивший хорошо известен на форуме своим высоким уровнем знания математики). В частности, в данной теме таким правом обладает исключительно stedent076.

[sa233091]

Тогда приношу извинения. Я просто недавно на этом форуме и не знал правил

[stedent076]

Brukvalub
можно еще одну подсказку?