Модуль и тригонометрия с параметром

[Brukvalub]

Докажите, пользуясь моей предыдущей подсказкой, что функция $f(x)=4x-9|x-3|-|3x-|x+a||$ возрастает слева от точки $3$ и убывает справа от нее.

[stedent076]

Brukvalub
А нужно пользоваться именно Вашей подсказкой, или можно, не мудрствуя лукаво, воспользоваться леммой Ферма, приравняв $f'(x)$ к нулю. А точка $3$ будет точкой строгого минимума $f(x)$, т.к. для того чтобы функция в этой точке имела строгий минимум, необходимо и достаточно, чтобы при переходе через нее производная меняла знак с минуса на плюс, а условие

Цитата:

$f(x)$ возрастает слева от точки $3$ и убывает справа от нее

удовлетворяет этому требованию.

[Brukvalub]

Беда в том, что модуль не всегда имеет производную.

[stedent076]

Brukvalub
А если определить производную модуля как $g(x)$:
$g(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

[Brukvalub]

Что значит "если определить"?
На Востоке говорят: "Можно сколько угодно говорить ХАЛВА определять производную модуля в нуле, слаще во рту от этого не становится, только от этого она там не появляется.

[sa233091]

stedent076 в сообщении #1153657 писал(а):

Brukvalub
А нужно пользоваться именно Вашей подсказкой, или можно, не мудрствуя лукаво, воспользоваться леммой Ферма, приравняв $f'(x)$ к нулю. А точка $3$ будет точкой строгого минимума $f(x)$, т.к. для того чтобы функция в этой точке имела строгий минимум, необходимо и достаточно, чтобы при переходе через нее производная меняла знак с минуса на плюс, а условие

Цитата:

$f(x)$ возрастает слева от точки $3$ и убывает справа от нее

удовлетворяет этому требованию.

Ты не можешь так просто определить производную, ведь ты ещё не доказал , что у функции нет разрыва

[Lia]

sa233091 в сообщении #1153717 писал(а):

Ты не можешь так просто определить производную, ведь ты ещё не доказал , что у функции нет разрыва

sa233091
Замечание за фамильярность. На форуме принято обращение на "Вы".

[Brukvalub]

sa233091 в сообщении #1153717 писал(а):

Ты не можешь так просто определить производную, ведь ты ещё не доказал , что у функции нет разрыва

Разве отсутствие разрывов обеспечивает существование производной?

[sa233091]

Brukvalub в сообщении #1153769 писал(а):

sa233091 в сообщении #1153717 писал(а):

Ты не можешь так просто определить производную, ведь ты ещё не доказал , что у функции нет разрыва

Разве отсутствие разрывов обеспечивает существование производной?

Нет, но как минимум не должно быть скачков, ну и в идеале не желательно наличие устранимых разрывов.

-- 23.09.2016, 02:18 --

stedent076 в сообщении #1153666 писал(а):

Brukvalub
А если определить производную модуля как $g(x)$:
$g(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

А вообще какой в этом смысл? Ведь если я правильно понимаю, то вы так-же будите разбивать значения x на подмножетсва и рассматривать каждое.

[stedent076]

sa233091
Этого ведь недостаточно для существования производной. Контрпример — функция Вейерштрасса

[sa233091]

sa233091 в сообщении #1153781 писал(а):

Нет, но как минимум не должно быть скачков, ну и в идеале не желательно наличие устранимых разрывов.

stedent076 в сообщении #1153831 писал(а):

Этого ведь недостаточно для существования производной. Контрпример — функция Вейерштрасса

А я такого и не говорил

[stedent076]

sa233091

Цитата:

Ты не можешь так просто определить производную, ведь ты ещё не доказал , что у функции нет разрыва

[gris]

А как можно определить производную в данном случае без раскрытия модулей? Вообще в школе устанавливают тип графика подобных функций: это ломаная. Непрерывная кусочно-линейная функция. В задачах на количество корней обычно интересуются наличием горизонтальных участков, поведением "крайних" участков, выпуклостью ограничиваемой фигуры, количеством "изломов", экстремумами. Иногда и без раскрытия модулей можно получить определяющие ответ характеристики.

[stedent076]

gris
А как из того, что $9>4+3+1$ следует минимальность функции в точке $x=3$ ?

[arseniiv]

Видимо, под функцией у sa233091 имелась в виду уже сама производная. Но это выглядит весело: чтобы определить производную, надо (для определения, есть ли разрывы) определить производную.