Бежать или стоять под дождем.

[Munin]

Господа щеголяют ответами, а как насчёт решения? Нижеследующее ориентировано на школьный уровень.

Решать задачу в системе отсчёта земли - неприятно. Вы получите только алгебраические соотношения, и придётся с ними возиться, не понимая их смысла.

Перейдём в систему отсчёта падающих капель! (Точнее, не совсем, но не будем уточнять.) В этой системе отсчёта, капли просто висят неподвижно в пространстве, а человек пробирается через это пространство, и заметает собой "трубу" (цилиндр). В результате, на человека попадают все капли, оказавшиеся в "трубе". Пробирается человек в двух разных направлениях:
- или вертикально вверх - тогда мы говорим "человек стоит" в старой с.о.;
- или наклонно к вертикали - тогда мы говорим "человек бежит" в старой с.о.
Заметим, что горизонтальное движение соответствует бесконечной скорости, а вообще чем скорость бега больше, тем направление движения горизонтальнее. Таким образом, система отсчёта падающих капель одновременно ведёт себя как пространство-время: по горизонтали мы откладываем перемещение человека по земле, а по вертикали - тот момент времени, который рассматриваем. Линия движения человека сквозь капли воды - это график движения, нарисованный в пространстве-времени. Например, если человек сначала стоял, а потом побежал, то график будет ломаной линией, и мы получим ломаную "трубу".

Кроме того, сам человек не поворачивается в пространстве, а движется в одной и той же ориентации. Это не очень точно, потому что бежит человек в другой позе, чем стоит. Тут можно сделать два приближения, не совпадающих друг с другом:
- человек является сферой, и поперечное сечение "трубы" вообще не зависит от наклона - не очень реалистично :-)
- человек является цилиндром, высоким и тонким, и поперечное сечение "трубы" определяется из двух сечений человека: горизонтального $S_h$ (насколько он большой при взгляде сверху), и вертикального $S_v$ (насколько он большой при взгляде спереди). $S=S_h\cos\alpha+S_v\sin\alpha.$
Это тоже приближение так себе, но самое лучшее, если мы не будем требовать серьёзного изучения формы и позы человека. Первое приближение может ошибаться примерно на множитель порядка единицы (например, раза в 2-3), а второе - уже на десяток процентов. Отсюда мы видим, с какой точностью стоит решать задачу: нам достаточно прикидки с точностью в одну значащую цифру. Например, нас не интересуют детали "концов трубы".

Теперь самое главное: условия, которые не оговорены в задаче, а их надо домысливать. Когда же мы прекратим мокнуть? Здесь есть два главных ограничения:
- если человек движется по горизонтали, то он рано или поздно придёт домой, под крышу, и перестанет мокнуть. Это условие соответствует тому, что в "пространстве дождя" человек достигает какой-то вертикальной стенки. Действительно, в пространстве-времени дом неподвижен, и его линия - вертикальная. Достичь дома - означает достичь этой вертикальной линии. А в какой момент времени это произойдёт - не важно, поскольку всё равно мы попадём под крышу. Сюда же относится вопрос "насколько намокнет человек, проходя заданное расстояние $l$".
- если дождь рано или поздно закончится. Это условие соответствует тому, что в "пространстве дождя" есть какая-то горизонтальная граница, после которой сверху капель воды в пространстве нет. Эта граница - момент окончания дождя. Мы считаем, что дождь заканчивается везде одновременно. (Если это не так, то граница будет не горизонтальная, а наклонная, так тоже можно усложнить задачу.) Поэтому, эта граница наступает в тот момент времени, когда последние капли дождя падают на землю. Весь дождь вместе получается этаким горизонтальным слоем. Сюда же относится вопрос "насколько намокнет человек за заданное время $t$".

Теперь видно, что если дождь заканчивается, то выгоднее всего стоять на месте. А если дождь не заканчивается, но вы можете добежать до дома, то выгоднее всего бежать с бесконечной скоростью (а если не получается - то как можно быстрее). И наконец, если имеет место и то и другое, то больше всего вы промокнете, если добежите до дома ровно в момент окончания дождя.

На практике, все эти рассуждения можно использовать для более сложных случаев: когда дождь заканчивается не везде одновременно; когда дождь льёт то сильно, то слабо, а по дороге есть козырьки, под которыми можно укрыться; для случая ветра с дождём, когда капли летят не вертикально. Хотя надеюсь, никто не будет задавать такие задачки :-)

[realeugene]

Munin в сообщении #1153531 писал(а):

Теперь видно, что если дождь заканчивается, то выгоднее всего стоять на месте.

Любой дождь когда-нибудь заканчивается. Для человека, добежавшего до дома, он заканчивается в момент пересечения порога. А для стоящего неподвижно он может закончиться и завтра.

Munin в сообщении #1153531 писал(а):

На практике, все эти рассуждения можно использовать для более сложных случаев: когда дождь заканчивается не везде одновременно;

Совершенно нормальный случай для самолётов, облетающих грозы.

[Munin]

realeugene в сообщении #1153555 писал(а):

Любой дождь когда-нибудь заканчивается.

На практике, дождь может лить непрерывно несколько дней. Или месяцев.

realeugene в сообщении #1153555 писал(а):

Совершенно нормальный случай для самолётов, облетающих грозы.

Замечательный пример!

[AlexNew]

Батороев писал(а):

При этом расстояния между каплями в вертикальных сечениях, параллельных вектору скорости сферы, уменьшаются.

Да, тут уже немного ответили. От себя добавлю следующее.
В систем сфера, капли это просто точки, которые распределены с разной плотностью $\rho_x$ и $\rho_y$ вдоль осей Ox (горизонт) и Оy, соответственно.
Например, если мы покоимся то мы "двигаемся" но только вдоль Оy и испытываем плотность дождя $\rho_y$.
Решение задачи остается прежним, НО для расчета обьема цилиндра надо вместо координат брать плотности и соответственно скорости изменяются:
$v_x -> v_x \rho_x$ ,
$v_y -> v_y \rho_y$

Тогда ответ будет
$ \sqrt{1 + (\frac{v_x \rho_x }{v_y \rho_y })^2}$

Теперь предположим что центры конденсации в облаке были распределены однородно, но когда капли начинают падать то растояние между ними растягивается (было однородным на облаке но облако "растянулось" до земли") наверное $\rho_y$ << $\rho_x$ и если вы побежите то вы реально попали!


P.S.
Иногда туча следует за тобой, доже когда ты дома...

[Утундрий]

Можно ещё и такого насочинять: сферически симметричный пешеход, будучи застигнут вертикально идущим дождём, помчался в укрытие в восем раз скорее дождя. Достигнув коего и обозрев себя, пришёл к выводу, что нечего было так нестись, ибо он вполне мог позволить себе промокнуть и вдвое сильнее. С какой же скоростью ему пришлось бы перемещаться для совершения оного?

[svv]

Надо ещё рассмотреть релятивистского пешехода под релятивистским дождём.

[Munin]

AlexNew в сообщении #1153586 писал(а):

капли это просто точки, которые распределены с разной плотностью $\rho_x$ и $\rho_y$ вдоль осей Ox (горизонт) и Оy, соответственно.

Это ерунда. Капли распределены с некоторой плотностью в пространстве, и всё.

[arseniiv]

svv в сообщении #1153597 писал(а):

Надо ещё рассмотреть релятивистского пешехода под релятивистским дождём.

Давайте не будем, мне его уже жалко.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Это ерунда. Капли распределены с некоторой плотностью в пространстве, и всё.

Это не ерунда, оне еще "некоторым" образом капают на релятивистских сферических пешеходов. Вот теперь все.

[Батороев]

Munin в сообщении #1153531 писал(а):

Перейдём в систему отсчёта падающих капель!

На мой взгляд, проще перейти к системе отсчета сферы.
В этой системе вектор скорости капель в случае неподвижной сферы равен вектору скорости их вертикального перемещения, в случае перемещения сферы - суммой двух векторов: скорости вертикального падения капель и горизонтального перемещения самой сферы. Во втором случае, как видно из картинки, расстояния между каплями в вертикальных сечениях уменьшаются по сравнению с первым случаем, в горизонтальных сечениях - эти расстояния не меняются.
Как я понимаю условие задачи, необходимо оценить отношение плотностей первого и второго случаев.

[Утундрий]

Батороев в сообщении #1153804 писал(а):

необходимо оценить отношение плотностей первого и второго случаев.

Оценил: единица.

[Батороев]

Утундрий в сообщении #1153829 писал(а):

Батороев в сообщении #1153804 писал(а):

необходимо оценить отношение плотностей первого и второго случаев.

Оценил: единица.

Оценил: остроумно!
Поправлюсь: "необходимо оценить отношение плотностей падения капель дождя на поверхность сферы в первом и втором случае".

[Утундрий]

Я не знаю кто такая "плотность падения", но пространственная плотность капель при галилеевом преобразовании не меняется. Добавим немного геометрии и получим ответ, приведенный ещё на предыдущей странице. Не изобретайте сусликов.

[Munin]

Батороев в сообщении #1153804 писал(а):

На мой взгляд, проще перейти к системе отсчета сферы.

Школьникам это не рекомендуется. Да, в этой системе отсчёта кое-что понятней. Но главная проблема задачи - это граничные условия. И они видней всего в системе отсчёта падающих капель.

-- 23.09.2016 15:39:26 --

Вообще, общая рекомендация: для любой задачи может быть полезно перепробовать несколько систем отсчёта, и выбрать из них ту, которая лучше всего помогает интуиции. Иногда это может быть даже не одна система отсчёта, а несколько вместе, хотя на школьном уровне таких задач обычно не бывает.

[AlexNew]

Батороев писал(а):

Во втором случае, как видно из картинки, расстояния между каплями в вертикальных сечениях уменьшаются по сравнению с первым случаем, в горизонтальных сечениях - эти расстояния не меняются.

"необходимо оценить отношение плотностей падения капель дождя на поверхность сферы в первом и втором случае".

Вы все усложняете.
В простейшем случае плотность капель по осям Ох и Oy одинакова.
В системе "Дождь" капли это просто равномерно распределенные точки, и вам просто нужно посчитать площадь цилиндра.
Нарисуйте решетку и посмотрите сколько точек окажется в вашем прямоугольнике. Прямом и наклонном прямоугольнике, и сравните с ответом.


В реальности плотность капель по оси Oy гораздо меньше чем по оси Ох, решение задачи тоже только надо умножить скорости на соответствующие плотности.

Munin писал(а):

Да, в этой системе отсчёта кое-что понятней. Но главная проблема задачи - это граничные условия.

Знать где дождь заканчивается это важно конечно, но у нас тут Абстракции :) Бесконечные тучи и сферические пешеходы.