О проблеме Гольдбаха

[Someone]

Вообще, если посмотреть таблицу максимальных интервалов между простыми числами, то видно, что с примориалами (праймориалами) они не связаны. И намного больше интервалов, которые гарантирует примориал.

[Батороев]

Someone в сообщении #1152791 писал(а):

Вообще, если посмотреть таблицу максимальных интервалов между простыми числами, то видно, что с примориалами (праймориалами) они не связаны. И намного больше интервалов, которые гарантирует примориал.

Согласен, но на мой взгляд, все же интервалы так или иначе связаны с произведениями простых чисел ("примориалами" не от последовательных простых чисел). Например, разрыв длиной $34$ числа в интервале $1327-1361$ является "крайним" для произведения $3\cdot5\cdot7\cdot13$

[Someone]

Батороев в сообщении #1153010 писал(а):

на мой взгляд, все же интервалы так или иначе связаны с произведениями простых чисел ("примориалами" не от последовательных простых чисел)

Разумеется. Ведь каждое натуральное число разлагается в произведение простых чисел.

[Батороев]

Наверное, добавлю: произведение меньших простых чисел (т.е. не обязательно последовательных).
Еще пример: разрыв длиной $36$ в интервале $9551-9587$ "крайний" для "примориала" $3\cdot5\cdot7^2\cdot13$

[Someone]

Это всё очень поверхностно. Какие-то гипотезы здесь, видимо, возможны, но не столь примитивные. Нужно проанализировать большое количество максимальных интервалов, и на основе анализа делать соответствующие предположения.

И не употребляйте термин "примориал" по отношению к произвольным числам. Он занят.

[vicvolf]

Естественно, что плотность простых чисел в последовательности обратно пропорциональна расстоянию между ними. Из формулы об асимптотической плотности простых чисел в арифметической прогрессии $kn+l, (k,l)=1$: $P(k,n) \sim k/\varphi (k) \ln(n)$ следует, что она максимальна, когда $k$ является примориалом. Эта закономерность видна только при больших $n$.

[Батороев]

Someone в сообщении #1153031 писал(а):

Это всё очень поверхностно. Какие-то гипотезы здесь, видимо, возможны, но не столь примитивные. Нужно проанализировать большое количество максимальных интервалов, и на основе анализа делать соответствующие предположения.

Я этим когда-то пытался заниматься и рядом с большими интервалами, как правило, находил числа, являющиеся произведением малых простых. Не буду спорить с тем, что и тот "анализ" был примитивен.

-- 21 сен 2016 14:46 --

Придумал некоторую (быть может, тоже примитивную) "подоплеку" этому факту.

Рассмотрим таблицу умножения (таблицу Пифагора).
По диагонали от $1$ расположены квадраты чисел. Диагональ, идущая от любого квадрата (например, от $a^2$) по нормали к первой, определяет произведение чисел $c=(a+b)(a-b)$, т.е. чисел меньших и бОльших $a$ на $b$.
Допустим, имеется большой интервал составных чисел. Тогда выбрав число $a$, меньшее на $2$ наименьшего числа из этого интервала или большее наибольшего из интервала, получаем диагональ чисел $c$, сплошь состоящую из не менее, чем $3$-х простых множителей ($2$ множителя у числа $c$ означает то, что выше и ниже числа $a$ на равных расстояниях расположены два простых числа, что не соответствует выбранному допущению).
На мой взгляд, вполне логично предположить, что число $a$ должно иметь как можно больше малых простых множителей для того, чтобы при малых $b$ (которые сами являются малыми простыми и малыми составными числами) эти множители выносились за скобки числа $c$ (1). Условие (1), по-видимому, является необходимым, но не достаточным условием для нахождения наибольших интервалов.

-- 21 сен 2016 14:49 --

Дополнение: По-видимому, наилучшим вариантом выбора числа $a$ является произведение первых натуральных чисел (факториал).

-- 21 сен 2016 14:54 --

Нет, дополнение - не лучший вариант.

[Someone]

Батороев в сообщении #1153216 писал(а):

рядом с большими интервалами, как правило, находил числа, являющиеся произведением малых простых

Это всё находится на уровне эмоций и совершенно неконкретно.

Слово "большие" я понимаю так: рассматривается интервал между простыми числами, который строго больше всех предыдущих интервалов.
А вот слова "рядом" (или "крайний") и "малых" мне непонятны. Если рассмотреть ваши примеры

Батороев в сообщении #1153010 писал(а):

разрыв длиной $34$ числа в интервале $1327-1361$ является "крайним" для произведения $3\cdot5\cdot7\cdot13$

Батороев в сообщении #1153030 писал(а):

разрыв длиной $36$ в интервале $9551-9587$ "крайний" для "примориала" $3\cdot5\cdot7^2\cdot13$

то $3\cdot 5\cdot 7\cdot 13=1365$ находится справа от интервала, но не вплотную к нему ("вплотную" было бы $1326$ или $1364$), а $3\cdot 5\cdot 7^2\cdot 13=9555$ — внутри, но с границей не совпадает. При естественной для меня интерпретации "рядом" означает, во всяком случае, снаружи, а "крайний" — наименьшее или наибольшее число в интервале (для второго интервала это было бы $9552$ или $9586$).
А "малые" — это какие?
Наконец, слова "как правило" в данном случае вообще дезавуируют такую "гипотезу", поскольку означают "то ли есть, то ли нет".
Проверять или доказывать такую гипотезу совершенно невозможно без уточнения её формулировки.

vicvolf, какое отношение плотность простых чисел в арифметических прогрессиях имеет к длине наибольших интервалов между простыми числами? Поясните, пожалуйста. И укажите, пожалуйста, источник формулы.

[Батороев]

Someone
Посмотрите, пожалуйста, мой предыдущий пост. Может он, немного прояснит мои косноязычные определения.

-- 21 сен 2016 16:29 --

В этом посте расстояние от наибольшего или наименьшего числа большого разрыва необязательно может быть $2$, а несколько и большим числом. Но в общем, где-то "рядом". Как это записать по-другому, не знаю - по-видимому, словарного запаса не хватает.

[Someone]

Батороев в сообщении #1153230 писал(а):

по-видимому, словарного запаса не хватает

Когда для точного выражения мысли не хватает слов, математики используют формулы.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1153226 писал(а):

vicvolf, какое отношение плотность простых чисел в арифметических прогрессиях имеет к длине наибольших интервалов между простыми числами? Поясните, пожалуйста. И укажите, пожалуйста, источник формулы.

Отвечаю на первый вопрос - впрямую отношения не имеет. Теперь в отношении формулы. В данном случае под плотностью последовательности простых чисел в арифметической прогрессии понимается доля членов первой последовательности во второй на определенном интервале натурального ряда (в случае асимптотической плотности - бесконечном). Количество простых чисел в арифметической прогрессии $kn+l, (k,l)=1$ на интервале от 1 до $n$ определяется по известной формуле $n/\varphi(k) \ln(n)$, а количество членов арифметической прогрессии на том же интервале равно $n/k$. Поэтому асимптотическая плотность последовательности простых чисел в арифметической прогрессии равна $P(k,n) \sim n k/ \varphi (k) \ln (n) n=k/\varphi(k) \ln(n)$.

[Батороев]

Someone в сообщении #1153243 писал(а):

Когда для точного выражения мысли не хватает слов, математики используют формулы.

Ладно, я - не математик. Поэтому вам я не сумею объяснить что-то. Хотел обсудить вопрос с топик-стартером. Теперь понимаю, что надо было через ЛС.

[vorvalm]

К вопросу о разностях между вычетами ПСВ

В ПСВ(М) разности $d=2,\;d=4$ объединяют только два вычета, но разности $d=6$
кроме двух вычетов, может объединять три вычета, т.е. составлять группу (кортеж) вычетов
с разностями между вычетами $(2,4),\;(4,2)$, хотя в натуральном ряду разность
$d=6$ может быть из 4-х взаимно простых чисел $(1,\;3,\;5,\;7).$
Если мы будем определять число разностей $d=6$ с помощью функции Эйлера
второго порядка, она даст общее число таких разностей, т.е. в это число войдут как
"чистые" разности $d=6$, так и кортежи вычетов, состоящих из 3-х вычетов
с разностями между вычетами $(2,4),\;(4,2,)$.
Разности $d > 6$ могут объединять гораздо больше вычетов.
Например, разности $d=8,\;d=10$ объединяют по 4 вычета с разностями $(2,4,2),\;(4,2,4).$
Это требует более подробно разобрать эти случаи.
Для этого надо ввести новые понятия и определения.
В ПСВ по модулю $M=p\#$ есть группы (кортежи) вычетов, которые в своем
составе имеют максимальное числ вычетов при данной общей разности $d$,
т.е. имеют максимальный размер.
Такие группы (кортежи) вычетов будем называть первообразными.
Все другие группы вычетов меньшего размера с данной общей разностью $d$ и
входящие в состав первообразных будем называть производными.
Разность между размером (числом вычетов) первообразной группы и размером производной
группы будем называть порядком производной группы.
Примером первообразных групп могут быть группы (кортежи), имеющие в своем составе
только минимальные разности между вычетами $2$ и $4.$ Таких групп всего $7$. Это:

$C(2,4),\;C(4,2),\;D(2,4,2),\;D(4,2,4),\;E(2,4,2,4),\;E(4,2,4,2),\;F(4,2,4,2,4)$

Сумма разностей между вычетами этих групп равна общей разности группы.
$d=6,\;6,\;8,\;10,\;12,\;12,\;16.$
Группы $C(2,4),\;C(4,2)$ имеют одну производную группу $B(6)$.
Группа $F(4,2,4,2,4)$ имеет 4 производные группы первого порядка.
$E(6,4,2.4),\;(4,6,2,4),\;(4,2,6,4),\;(4,2,4,6).$
Эти группы образуются путем последовательного исключения одного вычета
из состава первообразной группы с увеличением разности между вычетами при сохранении
общей разности группы $d=16.$
Каждая группа $E(16)$ имеет свои производные группы, которые для группы $F(16)$
будут производными второго порядка. Это 6 групп. (повторяющиеся группы не учитываем)
$D(10,2,4),\;(6,6,4),\;(6,4,6),\;(4,8,4,),\;(4,6,6),\;(4,2,10)$.
Далее 4 производные группы 3-го порядка
$C(12,4),\;(10,6),\;(6,10),\;(4,12)$
И, наконец, одна производная группа 4-го порядка $B(16)$
Вывод. Все разности между последовательными вычетами ПСВ(М) больше $d=4$
являются производными группами различных порядков.
Чем больше разность, тем, как правило, выше порядок производной, но
могут быть исключения.
При общей разности $d>16$ поиск первообразных групп представляет
определенные трудности. Даже при разности $d=14$ есть проблемы.
Покажем на примере разности $d=14$ поиск первообразной группы.
По аналогии с группой $F(4,2,4,2,4)$ создадим группу $F(2,4,2,4,2)$
общая разность которой равна $d=14$.
Проверяем эту группу на проходимость.
Приведенная группа $F[6]=(0,2,6,8,12,14)$. Число вычетов $n=6.$.
Проходимость по модулю $p=3,\;K(3)=3+m(3)-6.$
Имеем 4 вычета, сравнимых по модулю $p=3$, т.е. $m(3)=4$
$K(3)=3+4-6=1.$
Проходимость по модулю $p=5,\;K(5)=5+m(5)-6$
Имеем один вычет, сравнимый по модулю $p=5,$ т.е. $m(5)=1$
$K(5)=5+1-6=0$
Группа не проходит по модулю $p=5.$ Что делать?
Надо искать группу с общей разностью $d=14$ с меньшим числом вычетов.
Далеко ходить не будем. Возьмем группу $F[6]=(0,2,6,8,12,14)$ и находим все
производные группы первого порядка. Получим 4 группы 5-го размера.

$E[5]=(0,6,8,12,14),\;(0,2,8,12,14),\;(0,2,6,12,14),\;(0,1,6,8,14)$

Если первообразная группа "проходит" по какому-либо модулю, то производные от нее
группы также проходят по этому модулю, т.е. проверять их на проходимость по этому модулю не надо.
Из 4-х групп по модулю $p=5$ проходят только две, имеющие вычеты $2$ и $12$
Следовательно, первообразными группами (кортежами) с общей разностью $d=14$
являются две группы $E[5]=(0,2,8,12,14)$ и $E[5]=(0,2,6,12,14)$.
Но для определения производных групп надо рассматривать и группы, которые
не прошли по модулю $p=5$, т.к. при этом могут оказаться проходные группы
Аналогично можно найти первообразные группы для любой разности, но с увеличением этой
разности возрастает и число производных групп.

Число групп (кортежей) $Q[n]\; \; n$ - го размера в ПСВ определяется формулой

$N(Q[n])=A_n\varphi_n(M)$

Эта формула дает точный результат только для первообразных групп.
При определении числа производных групп первого порядка эта формула даст
общее число этих групп, куда войдут:
1) собственно производые группы,
2) те же группы, но которые входят в состав первообразных

Например, если определять число разностей $d=6$ по формуле $N(6)=2\varphi_2(M)$
в ПСВ(30), то получим $N(6)=2\cdot 3=6$. Это разности

$7-1,\;\;13(11)-7,\;\;17(13)-11,\;\;19(17)-13,\;\;23(19)-17,\;\;29-23.$

Из них только две являются "чистыми" разностями (7-1) и (29-23).
Остальные являются группами $C(4,2),\;\;C(2,4)$, которые
для группы $B(6)$ являются первообразными.

Вывод напрашивается сам. Число первых производных групп определяется как
разность между общим числом этих групп и числом первообразных групп

Обозначим первообразные группы $Q[n]$ размером $n$ (число вычетов в группе),
тогда первые производные от этих групп будут $Q[n-1]$. Число их в ПСВ(М) равно

$N(Q[n-1])=A_{n-1}\varphi_{n-1}(M)-A_{n}\varphi_{n}(M) $ где

$A_{n-1},\;A_n$ - суммарные коэффициенты проходимости по всем группам $Q[n-1],\;Q[n]$

Число вторых производных групп $Q[n-2]$ равно разности между общим числом
этих групп и числом первых производных групп $Q[n-1].$

$N(Q[n-2])=A_{n-2}\varphi_{n-2}(M)-N(Q[n-1])= A_{n-2}\varphi_{n-2}(M)-A_{n-1}\varphi_{n-1}(M)+A_{n}\varphi_{n}(M)$

В общем случае, когда группа $B(d)$ (последовательная разность $d$) является
производной группой от первообразной $n$-го размера, число их равно

$N(B(d))=\sum_2^n(-1)^nA_n\varphi_n(M)\;\;\;M\geqslant p\#$ где

$p$ - наибольший модуль сравнения вычетов первообразной группы,
$A_n$ - суммарные коэффициенты проходимости для всех групп одного размера.

Поясним это на примере числа разностей $d=14,\;(B(14))$

Первообразные группы
$E[5]=(0,2,8,12,14),\;(0,2,6,12,14)$
У каждой группы есть по три вычета, сравнимых по модулю $p=3$ и по одному вычету,
сравнимому по модулям $p=5,\;p=7.$ Отсюда проходимость каждой группы равна
$K(3)=3+3-5=1,\;K(5)=5+1-5=1,\;K(7)=7+1-5=3.$
Суммарный коэффициент проходимости двух групп

$$A_5=2\prod\frac{K(p)}{\varphi_5(p)}=2\prod\frac{1\cdot 1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3$$

Находим первые производные группы ( повторяющиеся группы не учитываем).
$D[4]=(0,8,12,14),\;(0,2,12,14),\;(0,2,8,14),\;(0,6,12,14),\;(0,2,6,14),\;(0,6,8,14)$
Первые 5 групп взяты из двух первообразных, но 6-ая группа взята из группы,
не прошедшей по модулю $p=5.$
У каждой группы есть по два вычета, сравнимых по модулю $p=3$ и по одному вычету,
сравнимому с $p=7$ и только у одной группы $(0,2,12,14)$ есть один вычет,
сравнимый по модулю $p=5.$
Отсюда проходимости каждой из 5-ти групп равна
$K(3)=3+2-4=1,\;K(5)=5+0-4=1,\;K(7)=7+1-4=4,$
для одной: $K(3)=3+2-4=1,\;K(5)=5+1-4=2,\;K(7)=7+1-4=4.$
Суммарный коэффициент всех групп $D[4]$ равен

$$A_4=5\prod\frac{K(p)}{\varphi_4(p)}+\prod\frac{K(p)}{\varphi_4(p)}=5\cdot\frac{1\cdot 1\cdot 4}{1\cdot 1\cdot 3}+\frac{1\cdot 2\cdot 4}{1\cdot1\cdot3}=\frac{28}{3}$$

Находим вторые производные группы
$C[3]=(0,2,14),\;(0,6,14),\;(0,8,14),\;(0,12,14)$
У каждой группы есть по одному вычету, сравнимому по модулям $p=3$ и $p=7,$
но сравнимых по модулю $p=5$ нет. Отсюда проходимость каждой группы равна
$K(3)=3+1-3=1,\;K(5)=5+0-3=2,\;K(7)=7+1-3=5$
Суммарный коэффициент проходимости всех групп равен

$$A_3=4\prod\frac{K(p)}{\varphi_3(p)}=4\cdot \frac{1\cdot 2\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 4}=5.$$

Осталась одна производная группа 3-го порядка $B(14)=(0,14)$
Ее коэффициенты проходимости
$K(3)=3+0-2=1,\;K(5)=5+0-2=3,\;K(7)=7+1-2=6$ и суммарный коэффициент равен

$$A_2=\prod \frac{K(p)}{\varphi_2(p)}=\frac{1\cdot 3\cdot 6}{1\cdot 3\cdot 5}=\frac 6 5.$$

Окончательно получаем формулу числа "чистых" разностей $d=14$ в ПСВ(М) при $M\geqslant 7\#.$

$N(B(14))=6/5\varphi_2-5\varphi_3+28/3\varphi_4-3\varphi_5$ (аргумент М опущен)

Проверка формулы при $M=7\#=210.$
$\varphi_2=15,\;\varphi_3=8,\;\varphi_4=3,\;\varphi_5=2.$
$N(B(14))=6/5\cdot 15-5\cdot 8+28/3\cdot 3-3\cdot 2=18-40+28-6=0 $
В ПСВ(210) чистых разностей $d=14$ нет.

При $M=11\#=2310$
$\varphi_2=135,\;\varphi_3=64,\;\varphi_4=21,\;\varphi_5=12$,
$N(B(14))=6/5\cdot 135-5\cdot 64+28/3\cdot 21-3\cdot 12=2$
Это знаменитая разность $127-113$ и $2197-2183$.

При $M=13\#=30030$ их уже 58.

Приведем без доказательства некоторые формулы числа разностей между
вычетами ПСВ. Аргумент М опущен.

$N(6)=2\varphi_2-2\varphi_3$,
$N(8)=\varphi_2-2\varphi_3+\varphi_4$
$N(10)=4/3\varphi_2-3\varphi_3+2\varphi_4$
$N(12)=2\varphi_2-7\varphi_3+10\varphi_4-2\varphi_5$
$N(16)=\varphi_2-5\varphi_3+12\varphi_4-6\varphi_5+\varphi_6$

[CherkasovMY]

Я на Вас таки удивляюсь! Ведь любое четное натуральное число можно представить не только в виде суммы, но и в виде разности двух простых чисел, тогда получим обобщение гипотезы: $2N = Pj \pm Pi$. Гипотезу Гольдбаха надо представить в несколько ином виде и искать доказательство теоремы:
Теорема о натуральных числах. Любое натуральное число можно представить в виде:
$N = Pi + (Pj - Pi) /2
Домножив обе части выражения на $2$ получим исходный вид формулировки гипотезы. Даже без доказательства, обобщенная гипотеза Гольдбаха может иметь большое значение в криптографии.

[vorvalm]

CherkasovMY в сообщении #1236767 писал(а):

Я на Вас таки удивляюсь! Ведь любое четное натуральное число можно представить не только в виде суммы, но и в виде разности двух простых чисел, тогда получим обобщение гипотезы: $2N = Pj \pm Pi$. Гипотезу Гольдбаха надо представить в несколько ином виде и искать доказательство теоремы:
Теорема о натуральных числах. Любое натуральное число можно представить в виде:
$N = Pi + (Pj - Pi) /2

Я на вас удивляюсь не меньше
В вашей формуле $2N=P_j\pm P_i$ при знаках (+) и (-) должны быть разные индексы
простых чисел.
Ваша Теорема о натуральных числах является слабым отражением проблемы Гольдбаха
Если любое четное число представляется суммой двух нечетных простых чисел, то любое
натуральное число представляется полусуммой этих чисел