Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5

[discoverer]

Извините, понял, пишу...

[discoverer]

Уважаемые господа, я понял причину недоразумений. Мы просто говорим на разных языках. Вы все живете и думаете в рамках мэйн-стрим математики, я же говорю на языке своей теории.

Это новая теория, она примитивна до уровня понимания школьником и в то же время исчерпывающа в этой области знаний. Ее существенным преимуществом есть то, что, она построена на последовательности натурального ряда чисел $ N $. Она упорядочена, охватывает все множество решений только в целых числах, поэтому здесь даже излишне упоминать словосочетание «решение в целых числах».

Представьте себе последовательность $ N $: $ 0,1,2,3,4,…n $ начинающуюся сверху и идущую вниз в бесконечность. Далее, справа идет множество $ A2 $: $ a_n=0,1,4,9,16,25,…a^2_n $. И заключительным есть множество $ B2 $: $ b_n=1,3,5,7,9,…a_{n+1}-a_n $ – множество вычетов соседних элементов $ a_n $. Эти три множества называются связанным множеством $ A2B2 $ (степени 2, как вы поняли), по такому же принципу строятся связанные множества $ A3B3, A4B4,…ANBN $. Далее выводится общее уравнение, связывающее все элементы множеств

$$ a_n=a_i+\sum_{i}^{n-1}b_i $$

где $ 0\leqslant i \leqslant n-1 $
Таким образом, видно, что для любого $ a_n $существует возможность перебора всего множества только целых значений остальных членов уравнения.
И наконец, самое главное, я нашел метод выражения элементов $ AN $ и $ BN $ множеств через фигурный полином, так я его назвал, потому что в состав суммы одночленов входят фигурные числа. Это дало новые свойства элементам множеств и породило новые методы решения. Больше информации есть в topic108159.html.

Теперь имея эти инструменты можно приступать к исследованию уравнений $ a^x+b^y=c^z $
Очевидно, что все уравнения $ a^x+b^y=c^z $ можно разделить на три варианта: первый, когда $ x=y=z $ - назовем их уравнения Ферма, второй – любые два из $ x,y,z $ равны – назовем их уравнения Биля, и третий, когда $ x\neq y\neq z $– назовем их Ферма-Каталана. Как видно, первая и вторая категории легко решаются в связанных множествах, поскольку как минимум два члена находятся в множестве $ AN $. Остается только исследовать число или определенную сумму целых чисел в множестве $ BN $. С третьей категорией ситуация сложнее, это как выявилось крайне редкий случай в математике, необычайно удивительный по свое природе. Дело в том, что уравнения данной категории, которых только 6 (если не ошибаюсь):

$$ 71^2=2^7+17^3 $$

$$ 1549034^2=15613^3-33^8 $$

$$ 2213459^2=65^7+1414^3 $$

$$ 15312283^2=113^7-9262^3 $$

$$ 21063928^2=17^7+76271^3 $$

$$ 30042907^2=48^8+96222^3 $$

имеют уникальную природу формирования – метод перегруппировки членов в множестве $ B2 $. Они несистемные, что значит, не имеют какой-то предсказуемой закономерности формирования. Это так сказать жемчужины Диофанта и черная дыра одновременно, поскольку неизвестно есть ли они дальше и сколько их еще. Хотя известно их общее свойство - два их члена всегда будут иметь степени 2 и 3.

Я приведу пару примеров в новом топике позже, если не возражаете.

Моя Теория вводит новые формулировки. Так, одной из главной характеристик уравнения становится его оригинальность или первообразность. Это означает, что основания членов уравнения в этом случае минимальны и не могут быть более уменьшены в своих множествах. К примеру, основания уравнения $ 80236^3-38575^3=4629^4 $ могут быть уменьшены на $ 1543^3 $, и оно в результате придет к своему оригинальному виду $ 52^3-25^3=124983 $. Из выводов также следует отметить, что все решения находятся в одноименных множествах и если существует $ a^x-c^x=b^x $ для $ a-c=1 $, то сразу появляется множество решений для $ a-c>1 $ по методу составных чисел. «Целочисленные» оригинальные решения находятся только в множестве $ A2B2 $ – это Пифагоровы тройки и уравнения вида $ a^2-c^2=b^y $, где $ y>2 $, и в множестве $ A3B3 $ – уравнения вида $ a^3-c^3=b^2 $, получающиеся в результате структурного подобия полиномов $ A2 $ и $ B3 $. Все остальные «целочисленные» уравнения, за исключением Ферма-Каталана, есть неоригинальные или производные - уравнения Биля, образующиеся с помощью общего множителя от оригинального уравнения.

А что же с теоремой Ферма? Она получила простую обобщенную формулировку отсутствия решений $ a^x+b^x=c^x $ для $ x\geqslant 3 $: фигурное число +$ \frac{n-1} M $ никогда не равно фигурному числу предыдущего порядка, где $ M $ – обобщенный множитель. А для степени 2 звучит так: треугольное фигурное число +$ \frac{n-1} 2 $ всегда равно натуральному числу.

С помощь Теории я получаю формулы факторизации сумм и разностей степеней - $ a^n\pm b^n $. Это один из важных разделов Теории, поскольку много уравнений Биля получается из составных чисел. Я получаю эти формулы, как в традиционной интерпретации, так и в форме фигурных полиномов, который вносит ясность в причину существования простых делителей уравнений Биля.

Я пытался найти, как выводятся эти формулы традиционно, и особенно интересно, почему не существует формулы факторизации суммы степеней для четных $ n $ - как это объясняет современная математика, но найти не смог, скиньте ссылку буду признателен.

К сожалению, я не смогу привести вывод доказательства по требованию уважаемой Lia. Его нельзя вырвать их контекста. Теория объемна, к примеру, она начинается с построения связанных множеств и вывода фигурных полиномов в общем виде для четных и нечетных степеней. Только это занимает 30 страниц. Далее следует раздел исследования теоремы Ферма, уравнений $ a^3-c^3=b^2 $, после большую часть занимает изучение уравнений Биля, факторизация $ a^n\pm b^n $ и заканчивается теория уравнениями Ферма-Каталана.

Все положения Теории прошли подтверждение экспериментальной проверкой, все гипотезы стали элементами целостной системы, а природа всех уравнений понята и объяснена.

Но пока это моя математика, и будучи аматером, я не откажусь от профессиональной поддержки довести ее до совершенства. Только тогда я смогу демонстрировать ее целиком, а пока я просто проверяю результаты.

Спасибо за внимание.

[nimepe]

Если рассмотреть ваше уравнение $A^4-B^4=C^5$,то оно имеет бесконечно много решений в целых числах:

$A=kp(k^4p^4-m^4)^{5t+1}$
$B=m(k^4p^4-m^4)^{5t+1}$
$C=(k^4p^4-m^4)^{4t+1}$

[nimepe]

Касаемо уравнения$A^x+B^y=C^z$ оно имеет бесконечно много решений в целых числах и решения находятся по общим формулам, если: $GCD(xy,z)=1$ и $GCD(xz,y)=1$, и $GCD(yz,x)=1$;$GCD(xy,z )=2$ или $ GCD (xy,z)=1$ ,и $GCD( 2x,y)=1$ или $GCD (2x,\frac y 2)=1$ и $GCD (xz,y)=2$, или $ GCD(yz,x)=2$ и $GCD (2z,x)=1$ или$ GCD (2z,y)=1 $

[nimepe]

исправляю опечатку или $ или GCD(2x,y/2)=1$

[miflin]

(Оффтоп)

discoverer в сообщении #1151229 писал(а):

Любопытно, существует какой-либо критерий интереса тех или иных выводов для науки? Предположу, что первый – это из чьих уст это звучит.

Б. Штерн, "Вперед, конюшня" писал(а):

ПЕРВЫЙ ПАРАДОКС КЛЕНОВА, спортивный.

Предположим, что чемпион мира по шахматам гроссмейстер К."арасев" в
партии с гроссмейстером Н."удельманом" делает ход "е2-е4". Шахматные
тиффози, собравшиеся в зале, начинают волноваться и обсуждать этот ход,
прикидывать - а не испанскую ли партию разыграют гроссмейстеры? В это же
время в каком-то шахматном клубе на астероиде О'к-Аллисто мальчик Ваня
Тюлькин делает тот же ход "е2-е4". Почему никто из этих тиффози не мчится на
О'к-Аллисто и не обсуждают этот ход - ведь ход-то один и тот же?

[kalin]

А к какой категории относится $ 7^2=3^4-2^5 \quad ?$

[nimepe]

Уравнение $ A^2=B^4-C^5$ имеет бесконечное количество решений в целых числах, так как
$gcd(4\cdot 5,2)=2$, $ gcd(2\cdot4,5)=1$