Уважаемые господа, я понял причину недоразумений. Мы просто говорим на разных языках. Вы все живете и думаете в рамках мэйн-стрим математики, я же говорю на языке своей теории.
Это новая теория, она примитивна до уровня понимания школьником и в то же время исчерпывающа в этой области знаний. Ее существенным преимуществом есть то, что, она построена на последовательности натурального ряда чисел

. Она упорядочена, охватывает все множество решений только в целых числах, поэтому здесь даже излишне упоминать словосочетание «решение в целых числах».
Представьте себе последовательность

:

начинающуюся сверху и идущую вниз в бесконечность. Далее, справа идет множество

:

. И заключительным есть множество

:

– множество вычетов соседних элементов

. Эти три множества называются связанным множеством

(степени 2, как вы поняли), по такому же принципу строятся связанные множества

. Далее выводится общее уравнение, связывающее все элементы множеств

где
Таким образом, видно, что для любого

существует возможность перебора всего множества только целых значений остальных членов уравнения.
И наконец, самое главное, я нашел метод выражения элементов

и

множеств через фигурный полином, так я его назвал, потому что в состав суммы одночленов входят фигурные числа. Это дало новые свойства элементам множеств и породило новые методы решения. Больше информации есть в
topic108159.html.
Теперь имея эти инструменты можно приступать к исследованию уравнений

Очевидно, что все уравнения

можно разделить на три варианта: первый, когда

- назовем их уравнения Ферма, второй – любые два из

равны – назовем их уравнения Биля, и третий, когда

– назовем их Ферма-Каталана. Как видно, первая и вторая категории легко решаются в связанных множествах, поскольку как минимум два члена находятся в множестве

. Остается только исследовать число или определенную сумму целых чисел в множестве

. С третьей категорией ситуация сложнее, это как выявилось крайне редкий случай в математике, необычайно удивительный по свое природе. Дело в том, что уравнения данной категории, которых только 6 (если не ошибаюсь):

имеют уникальную природу формирования – метод перегруппировки членов в множестве

. Они несистемные, что значит, не имеют какой-то предсказуемой закономерности формирования. Это так сказать жемчужины Диофанта и черная дыра одновременно, поскольку неизвестно есть ли они дальше и сколько их еще. Хотя известно их общее свойство - два их члена всегда будут иметь степени 2 и 3.
Я приведу пару примеров в новом топике позже, если не возражаете.
Моя Теория вводит новые формулировки. Так, одной из главной характеристик уравнения становится его оригинальность или первообразность. Это означает, что основания членов уравнения в этом случае минимальны и не могут быть более уменьшены в своих множествах. К примеру, основания уравнения

могут быть уменьшены на

, и оно в результате придет к своему оригинальному виду

. Из выводов также следует отметить, что все решения находятся в одноименных множествах и если существует

для

, то сразу появляется множество решений для

по методу составных чисел. «Целочисленные» оригинальные решения находятся только в множестве

– это Пифагоровы тройки и уравнения вида

, где

, и в множестве

– уравнения вида

, получающиеся в результате структурного подобия полиномов

и

. Все остальные «целочисленные» уравнения, за исключением Ферма-Каталана, есть неоригинальные или производные - уравнения Биля, образующиеся с помощью общего множителя от оригинального уравнения.
А что же с теоремой Ферма? Она получила простую обобщенную формулировку отсутствия решений

для

: фигурное число +

никогда не равно фигурному числу предыдущего порядка, где

– обобщенный множитель. А для степени 2 звучит так: треугольное фигурное число +

всегда равно натуральному числу.
С помощь Теории я получаю формулы факторизации сумм и разностей степеней -

. Это один из важных разделов Теории, поскольку много уравнений Биля получается из составных чисел. Я получаю эти формулы, как в традиционной интерпретации, так и в форме фигурных полиномов, который вносит ясность в причину существования простых делителей уравнений Биля.
Я пытался найти, как выводятся эти формулы традиционно, и особенно интересно, почему не существует формулы факторизации суммы степеней для четных

- как это объясняет современная математика, но найти не смог, скиньте ссылку буду признателен.
К сожалению, я не смогу привести вывод доказательства по требованию уважаемой Lia. Его нельзя вырвать их контекста. Теория объемна, к примеру, она начинается с построения связанных множеств и вывода фигурных полиномов в общем виде для четных и нечетных степеней. Только это занимает 30 страниц. Далее следует раздел исследования теоремы Ферма, уравнений

, после большую часть занимает изучение уравнений Биля, факторизация

и заканчивается теория уравнениями Ферма-Каталана.
Все положения Теории прошли подтверждение экспериментальной проверкой, все гипотезы стали элементами целостной системы, а природа всех уравнений понята и объяснена.
Но пока это моя математика, и будучи аматером, я не откажусь от профессиональной поддержки довести ее до совершенства. Только тогда я смогу демонстрировать ее целиком, а пока я просто проверяю результаты.
Спасибо за внимание.