Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5

[discoverer]

Уважаемые математики!

Мною получены некоторые интересные результаты и чтобы не стать плагиатором, хотелось бы знать авторство некоторых занимательных выводов.

Итак, внешне ничем не примечательное уравнение $ 85^4-51^4=34^5 $ имеет ближайшего родственника $ 8948802969730^8-8673455186046^8=275347783684^9 $. Это семейство имеет продолжение, назвал я его бинарные уравнения Биля, потому что их производным уравнением есть такая красивая формула:

$$ a^{2}^n-b^{2}^n=(a-b)\prod^{n-1}_{i=0}\left(a^{2}^i+b^{2}^i)\right \eqno (1.1) $$

По моей классификации, это класс уравнений Биля, 4-го типа, частного случая с), что значит, это уравнение вида $ a^x-b^x=c^z $, где $ c^z $ - составное число. Простите за такую заумную классификацию, но видов уравнений Биля правда много, а любой системный подход требует точной характеристики.

Далее, получается это семейство так: берем два числа $ a=5 $, $ b=3 $ и записываем уравнение согласно (1.1)

$$ 5^4-3^4=2\times272=(5-3)\times(5+3)(5^2+3^2) $$

где получим

$$ 5^4-3^4=2\times2^4\cdot17 $$

и окончательно умножая уравнение на общий множитель $ 17^4 $, получим

$$ 85^4-51^4=34^5 $$

Общим делителем оснований здесь есть простое число $ 17 $.

Далее, второе уравнение этого семейства получается так: берем два числа $ a=65 $, $ b=63 $ и записываем уравнение согласно (1.1)

$$ 65^8-63^8=2\times35244516311552=(65-63)\times(65+63)(65^2+63^2)(65^4+63^4) $$

где получим

$$ 65^8-63^8=2\times2^8\cdot137673891842 $$

и окончательно умножая уравнение на общий множитель $ 137673891842^8 $, получим

$$ 8948802969730^8-8673455186046^8=275347783684^9 $$

Общим делителем оснований здесь есть натуральное число $ 137673891842 $.

Остальные уравнения этого семейства получаются по такому же алгоритму. Искать далее не я стал, слишком большое основание будет, разрядов на калькуляторе не хватит.

Что знает современная математика об этом?

[warlock66613]

Это не уравнения. Это равенства. Уравнение — это нечто другое.

[INGELRII]

Берем любые натуральные $a,b,n, a>b$, берем $c=a^n-b^n$. Сделав оччень умное лицо, смело пишем равенство $(ac)^n-(bc)^n=c^{n+1}$. Потом берем какие-нибудь другие числа, получаем еще одно сногсшибательное равенство. Повторяем $100500$ раз, пока не надоест.

[arseniiv]

Пользуясь случаем, передаю привет своим многочисленным родственникам напомню, что в современном литературном русском языке глагол быть в настоящем времени не управляет творительным падежом, так что либо общим делителем является (или, скажем, будет), либо общий делитель есть, но никак не

discoverer в сообщении #1150975 писал(а):

Общим делителем оснований здесь есть <…> число <…>

Никак не могу пройти мимо корреляции этой речевой особенности авторов с тем, насколько они близки к ерунде.

[mihailm]

discoverer, все что вы написали идейно, конечно, верно (вычисления не проверял), но уж совсем простенько. Немного дальше школьной программы. Попробуйте, наряду с собственными изысканиями проверить свои силы решая задачки элементарной теории чисел. P.S. А красивая формула (1.1) (там опечатки) была наверняка известна Виету, если не раньше.

[Red_Herring]

INGELRII в сообщении #1151006 писал(а):

Повторяем $100500$ раз, пока не надоест.

Вы забыли самое главное: спросить

discoverer в сообщении #1150975 писал(а):

Что знает современная математика об этом?

[discoverer]

Любопытно, существует какой-либо критерий интереса тех или иных выводов для науки? Предположу, что первый – это из чьих уст это звучит. Второй критерий - юзание темы. Интересно теорему Ферма юзали более 100500 раз?

Если не возражаете, продолжу. Я намеренно не привожу теорию, потому что читать ее все равно никто не будет. Причина – критерий 1. Только реальные примеры, нет ничего лучше результатов.

Приведу еще один интересный случай. Как вероятно известно, существует большой класс уравнений вида $ a^x-b^x=c^z $, где $ z>x $ и где основание $ c $, не является общим делителем для $ a $ и $ b $. А это значит, что в этом случае основанием $ c $ есть составное число, пусть это будет $ d\cdot e=c $. И вот здесь доминирующим делителем этого класса выступает второе число $ e $.

Вопрос: почему он доминирует и почему он всегда нечетный и преимущественно простой?
Представьте, что старшеклассник-сын спросит вас о этом? Что вы ему скажете? Это банально, тривиально, недоюзали еще или это есть где-то у Виета?

Однако природа чисел удивительно разнообразна, поэтому в правиле этого класса существуют исключения.
Итак, внешне ничем не примечательное уравнение

$$ 897^3-368^3=161^4 \eqno (1.2) $$

является исключением из этого правила, потому что его производящим уравнением есть

$$ 39^3-16^3=23\times(7^2)^2=(39-16)\times(1+2400) \eqno (1.3) $$

где общим множителем служит первое число $ d=23 $. Почему спросите вы? Потому что производящая формула этого уравнения имеет вид

$$ a^3-b^3=d\times(e^2)^2=(a-b)\times\left(1+6\sum^{a-1}_{j=b}\frac{k^{(2)}_j}{(a-b)}\right) $$

где формула числа $ e=\left(1+6\sum^{a-1}_{j=b}\frac{k^{(2)}_j}{(a-b)}\right) $ обладает структурным подобием формуле $ 1+2\left(k^{(2)}_{n-1}+\frac{n-1}{2}\right) $ хотя и не таким явным, как показано в теме: topic108159.html, второй абзац после (3.5), но все же подобный механизм работает и здесь, то есть она способна генерировать степени числа. Действительно, для $ a=39 $ и $ b=16 $ получим $ e=(7^2)^2 $. И тогда умножая (1.3) на $ 23^3 $ получим (1.2).
Но это еще не все, это также системное уравнение, как бинарное Биля, потому что его ближайшим родственником есть

$$ 609^3-434^3=35^5 $$

где производящим уравнением выступает

$$ 87^3-62^3=5^2\times7^5=(87-62)\times(1+16806) $$

Как видно, здесь та же мистическая 7 и множителем служит первое число $ d $, поэтому я назвал это семейство проблемой Фантома, так как полная картина этого случая еще не изучена.

Ваши комментарии?

[Aritaborian]

discoverer в сообщении #1151229 писал(а):

уравнение

discoverer в сообщении #1151229 писал(а):

его производящим уравнением есть

Вы дважды проигнорировали содержательные замечания участников. Какие именно, не скажу

[mihailm]

discoverer в сообщении #1151229 писал(а):

...Ваши комментарии?

Вы, извините, глухой? Общаться то собираетесь?

[Lia]

discoverer в сообщении #1151229 писал(а):

Ваши комментарии?

Просьба максимально сжато, но исчерпывающе, сформулировать проблему, которой посвящен этот топик. Как можно больше проблем охватывать не надо. Начните с чего-то одного.

Например, по первому посту. Как я Вас понимаю. Вы написали, что придумали метод, которым можно составлять наборы чисел, удовлетворяющих уравнению Била с набором показателей $(n, n+1, n)$. Вы не написали, почему этот метод представляет какой-то интерес. Интерес был бы (опять же по моим понятиям, пусть меня поправят, если что), если бы Вы 1) обосновали отсутствие взаимно простых решений в этом случае, 2) наличие взамино простых решений, 3) привели полное, исчерпывающее решение для этого случая, то есть указав все тройки $(a,b,c)$ и показав, что других не существует. Угадывание какого-то одного решения большого интереса не представляет по причинам, указанным INGELRII здесь: post1151006.html#p1151006. Надо заметить, что указанный им набор гораздо более обширен.

Поскольку Вы на эту реплику никак не отреагировали, а отправились куда-то своей дорогой - не сказав, куда, - имеет смысл затормозить и обозначить, о чем Вы вообще собираетесь вести речь. Ибо непонятно.

[discoverer]

Цитата:

Поскольку Вы на эту реплику никак не отреагировали, а отправились куда-то своей дорогой - не сказав, куда, - имеет смысл затормозить и обозначить, о чем Вы вообще собираетесь вести речь. Ибо непонятно.

Ок, спасибо, что вмешались и направляете топик в адекватный диалог. Начну по порядку отвечать на вопросы. Посмотрим, что из этого выйдет.

-- 15.09.2016, 22:13 --

Цитата:

Это не уравнения. Это равенства. Уравнение — это нечто другое.

Я открываю Гугл и ищу что такое уравнения и равенства. Получаю ответ «Уравнение – равенство.…», источник – Википедия.
Источник авторитетный. Я пользуюсь. Но равенства – так равенства. Ок.

-- 15.09.2016, 22:14 --

Цитата:

Берем любые натуральные $a,b,n, a>b$, берем $c=a^n-b^n$. Сделав оччень умное лицо, смело пишем равенство $(ac)^n-(bc)^n=c^{n+1}$. Потом берем какие-нибудь другие числа, получаем еще одно сногсшибательное равенство. Повторяем $100500$ раз, пока не надоест.

Вообще не понятно, о чем ведете речь. Здесь нет таких равенств.

-- 15.09.2016, 22:16 --

arseniiv в сообщении #1151009 писал(а):

Пользуясь случаем, передаю привет своим многочисленным родственникам напомню, что в современном литературном русском языке глагол быть в настоящем времени не управляет творительным падежом, так что либо общим делителем является (или, скажем, будет), либо общий делитель есть, но никак не

discoverer в сообщении #1150975 писал(а):

Общим делителем оснований здесь есть <…> число <…>

Никак не могу пройти мимо корреляции этой речевой особенности авторов с тем, насколько они близки к ерунде.

Мой топик не о речевых особенностях, а о какой ерунде вы ведете речь, я не понимаю. Ткните пальцем в ерунду.

-- 15.09.2016, 22:18 --

mihailm в сообщении #1151038 писал(а):

discoverer, все что вы написали идейно, конечно, верно (вычисления не проверял), но уж совсем простенько. Немного дальше школьной программы. Попробуйте, наряду с собственными изысканиями проверить свои силы решая задачки элементарной теории чисел. P.S. А красивая формула (1.1) (там опечатки) была наверняка известна Виету, если не раньше.

Укажите пожалуйста где есть опечатка и что известно Виету - ссылка на источник.
Уверен, школьникам это будет интересно. И не только. Для этого я работаю. Спасибо, мне не интересны задачки элементарной теории чисел, я профессионально работаю с данными равенствами/уравнениями. Я размотал этот клубок, разработал теорию, получил много интересных результатов, которые проверяю здесь. Можете присылать любые, я раскрою с подробностями.

-- 15.09.2016, 22:22 --

Aritaborian в сообщении #1151232 писал(а):

Вы дважды проигнорировали содержательные замечания участников. Какие именно, не скажу

Уже исправился, спасибо.

-- 15.09.2016, 22:23 --

mihailm в сообщении #1151237 писал(а):

Вы, извините, глухой? Общаться то собираетесь?

Уже общаюсь. Мало свободного времени просто.

[Aritaborian]

discoverer в сообщении #1151455 писал(а):

источник – Википедия. Источник авторитетный.

Википедия — вообще не источник. По определению. Зла на вас не хватает.

[warlock66613]

discoverer в сообщении #1151455 писал(а):

Получаю ответ «Уравнение – равенство.…»

Ну, даже не вдаваясь в детали, отсюда можно сделать вывод, что уравнение - это равенство, но не всякое равенство - уравнение.

[INGELRII]

discoverer в сообщении #1151455 писал(а):

Вообще не понятно, о чем ведете речь. Здесь нет таких равенств.

Речь ведется о том, что есть метод, позволяющий абсолютно без усилий получить сколько угодно нужных вам равенств. И приведен сам метод. Он тривиален. Если вы считаете, что ваши решения гораздо круче тех, которые можно получить этим тривиальным методом, то прошу в явном виде выписать этот самый критерий крутизны решений, и если получится, что ваши решения и впрямь круты, можно будет говорить о них дальше. Иначе просто отсутствует предмет для разговора.

Кстати, чтобы не отвлекаться на холивар "уравнения-равенства", можно просто говорить об уравнении Биля и его решениях.

[Lia]

discoverer
Еще раз:

Lia в сообщении #1151277 писал(а):

Просьба максимально сжато, но исчерпывающе, сформулировать проблему, которой посвящен этот топик.