Доказать неравенства

[NL0]

1) Числа $a,b,c,d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$, докажите, что $(2+a)(2+b)\ge cd$

2) Докажите, что для положительных значений букв выполняется неравенство $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$

Я пытался выделять полные квадраты в первом, во втором неравенство между средним арифметическим и геометрическим использовать, но ничего не вышло. Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать.

[sergei1961]

2) следует из наравенства о средних. Примените к каждой скобке...

[NL0]

sergei1961 в сообщении #1150541 писал(а):

2) следует из наравенства о средних. Примените к каждой скобке...

Спасибо! Точно, второе получилось. А как первое, не подскажите?

[deep blue]

в (1) примените неравенство о средних к правой части

[NL0]

deep blue в сообщении #1150572 писал(а):

в (1) примените неравенство о средних к правой части

Спасибо!

$\bar{x}_\mathrm{kvadr} \ge \bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom} \ge \bar{x}_\mathrm{garmon}$

Но к правой части чего именно, не понимаю. Это к четверке применить или к $cd$?

[deep blue]

к $cd$ применяете $\bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom}$ потом используете уравнение из условия.

[NL0]

Спасибо, именно вот так применять?

$\dfrac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2}\geqslant cd$.

[deep blue]

NL0 в сообщении #1151873 писал(а):

Спасибо, именно вот так применять?

$\dfrac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2}\geqslant cd$.

Это неравенство неверно. Исправьте ошибку.

[sergei1961]

Предлагаю использовать неравенство о средних более грубое:

$$ cd \le \frac{c^2+d^2}{2}. $$

Тогда с учётом условия задачи всё сводится к $(a+b+2)^2 \ge 0$.
Но это решение использует, что $c,d$ одного знака. Но иначе неравенство очевидно.
P.S. Задумался - или не использует?

[deep blue]

sergei1961 в сообщении #1153067 писал(а):

Предлагаю использовать неравенство о средних более грубое:

$$ cd \le \frac{c^2+d^2}{2}. $$

Ровно это я и предлагал.
А в каком смысле оно более грубое? И более грубое чем что? Ведь $ cd \le \frac{c^2+d^2}{2} $ равносильно $ \sqrt{cd} \le \frac{c+d}{2} $ при положительных c,d

[sergei1961]

Нет, не равносильно. Неравенство ср. геом. < ср. квадратичного грубее ср. геом. < ср. арифм. Хотя может Вы и правы...

[Sinoid]

deep blue в сообщении #1153074 писал(а):

Ведь $cd \le \frac{c^2+d^2}{2}$ равносильно $ \sqrt{cd} \le \frac{c+d}{2}$ при положительных $c$, $d$

Не надо так писать: хотя мысль и понятна, некоторых людей она может сбить с толку.

[sergei1961]

deep blue -да согласен, в том смысле, что если дважды применить первое, то получится второе.