2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать неравенства
Сообщение10.09.2016, 22:03 
1) Числа $a,b,c,d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$, докажите, что $(2+a)(2+b)\ge cd$

2) Докажите, что для положительных значений букв выполняется неравенство $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$

Я пытался выделять полные квадраты в первом, во втором неравенство между средним арифметическим и геометрическим использовать, но ничего не вышло. Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать.

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение11.09.2016, 09:12 
2) следует из наравенства о средних. Примените к каждой скобке...

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение11.09.2016, 09:45 
sergei1961 в сообщении #1150541 писал(а):
2) следует из наравенства о средних. Примените к каждой скобке...

Спасибо! Точно, второе получилось. А как первое, не подскажите?

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение11.09.2016, 13:20 
в (1) примените неравенство о средних к правой части

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение17.09.2016, 12:31 
deep blue в сообщении #1150572 писал(а):
в (1) примените неравенство о средних к правой части


Спасибо!

$\bar{x}_\mathrm{kvadr} \ge \bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom} \ge \bar{x}_\mathrm{garmon}$

Но к правой части чего именно, не понимаю. Это к четверке применить или к $cd$?

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение17.09.2016, 13:23 
к $cd$ применяете $\bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom}$ потом используете уравнение из условия.

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение17.09.2016, 14:27 
Спасибо, именно вот так применять?

$\dfrac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2}\geqslant cd$.

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение17.09.2016, 14:39 
NL0 в сообщении #1151873 писал(а):
Спасибо, именно вот так применять?

$\dfrac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2}\geqslant cd$.

Это неравенство неверно. Исправьте ошибку.

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение20.09.2016, 14:53 
Предлагаю использовать неравенство о средних более грубое:
$$
cd \le \frac{c^2+d^2}{2}.
$$
Тогда с учётом условия задачи всё сводится к $(a+b+2)^2 \ge 0$.
Но это решение использует, что $c,d$ одного знака. Но иначе неравенство очевидно.
P.S. Задумался - или не использует?

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение20.09.2016, 16:08 
sergei1961 в сообщении #1153067 писал(а):
Предлагаю использовать неравенство о средних более грубое:
$$
cd \le \frac{c^2+d^2}{2}.
$$
Ровно это я и предлагал.
А в каком смысле оно более грубое? И более грубое чем что? Ведь $
cd \le \frac{c^2+d^2}{2}
$ равносильно $ 
\sqrt{cd} \le \frac{c+d}{2}
$ при положительных c,d

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение20.09.2016, 17:25 
Нет, не равносильно. Неравенство ср. геом. < ср. квадратичного грубее ср. геом. < ср. арифм. Хотя может Вы и правы...

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение20.09.2016, 18:51 
deep blue в сообщении #1153074 писал(а):
Ведь $cd \le \frac{c^2+d^2}{2}$ равносильно $
\sqrt{cd} \le \frac{c+d}{2}$ при положительных $c$, $d$

Не надо так писать: хотя мысль и понятна, некоторых людей она может сбить с толку.

 
 
 
 Re: Доказать неравенства
Сообщение20.09.2016, 19:58 
deep blue -да согласен, в том смысле, что если дважды применить первое, то получится второе.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group