Угловое расстояние на окружности

[arseniiv]

svv в сообщении #1151853 писал(а):

arseniiv в сообщении #1151782 писал(а):

А я боюсь, что автору синус не понравится, потому что он зануляется на $\pi$, а такой промежуток должен расталкиваться по замыслу сильнее всего. Может, синус половины угла?

Выберем точку. Другая точка, отстоящая от выбранной на $\pm\pi$, из соображений симметрии не должна толкать выбранную в определённую сторону: чем clockwise лучше counter- ? Из соображений гладкости точки, отстоящие от выбранной примерно на $\pm\pi$, должны толкать её слабо.

Если у нас всего две точки, то положение их на $\pi$ друг от друга будет устойчивым равновесием, но если больше, то точка, по идее, должна ползти в сторону той соседней, расстояние до которой меньше, так что та соседняя должна отталкивать ещё меньше, чем та, которая на $\pi$. Впрочем, это только моё понимание того, что хотел автор.

[Munin]

Мне кажется, вы тут зря шашками машете. ТС сам плохо понимает, чего хочет. Упоминание инфляционной Вселенной имело бы смысл, если бы речь шла о метрической длине дуги между точками, а не угловой. Окружность должна расширяться как целое, увеличивать радиус. И тут не важна угловая координата каждой точки самой по себе, важны только расстояния между точками. То есть, система как целое ещё имеет свободу вертеться как хочет.

[EXE]

denny в сообщении #1151659 писал(а):

Да не тут то было! Ведь угловое расстояние между точками в общем случае не равно $\varphi_i - \varphi_j$!
Если они лежат в разных полуплоскостях, то оно равно $2\pi+\varphi_i - \varphi_j$

Угол, наверно, можно заменить длиной дуги окружности, и тогда у Вас будет однозначная разность между углами – через расстояние.
То есть, угол хранить в длине дуги окружности.

[arseniiv]

Кстати, действительно, кому нужно выражать всё через координаты точек, когда можно использовать сами длины дуг, раз интересуют именно дуги.

[denny]

Munin в сообщении #1151863 писал(а):

Мне кажется, вы тут зря шашками машете. ТС сам плохо понимает, чего хочет. Упоминание инфляционной Вселенной имело бы смысл, если бы речь шла о метрической длине дуги между точками, а не угловой. Окружность должна расширяться как целое, увеличивать радиус. И тут не важна угловая координата каждой точки самой по себе, важны только расстояния между точками. То есть, система как целое ещё имеет свободу вертеться как хочет.

Ну это, конечно, не модель Вселенной, а такая "вселенная"! Есть только угловое расстояние,
метрического нет. Хотелось, чтобы попроще было.
Но оказалось не так-то просто!

Сейчас изучаю написанное, спасибо!

-- 18.09.2016, 13:19 --

arseniiv в сообщении #1151859 писал(а):

Если у нас всего две точки, то положение их на $\pi$ друг от друга будет устойчивым равновесием, но если больше, то точка, по идее, должна ползти в сторону той соседней, расстояние до которой меньше, так что та соседняя должна отталкивать ещё меньше, чем та, которая на $\pi$. Впрочем, это только моё понимание того, что хотел автор.

Вообще, если я правильно представляю, что сам придумал , если не будет рождения новых точек (но будет коллапс соединившихся), то любая система из более чем двух точек должна выродится в устойчивую двухточечную.

[Munin]

denny в сообщении #1152138 писал(а):

Есть только угловое расстояние,
метрического нет. Хотелось, чтобы попроще было.

А тогда записанные вами уравнения просто бессмысленны. Угловые расстояния не могут увеличиваться все одновременно. На них наложена связь $\sim\Delta\varphi=0.$

-- 18.09.2016 12:40:50 --

denny в сообщении #1152138 писал(а):

Вообще, если я правильно представляю, что сам придумал :shock:, если не будет рождения новых точек (но будет коллапс соединившихся), то любая система из более чем двух точек должна выродится в устойчивую двухточечную.

В правильной модели инфляции, это не так.

[denny]

Да, возможно, над общей стратегией надо еще подумать.
Но меня очень беспокоят "простые" технические вопросы.

Предположим, у нас есть всего две точки на окружности.
В начальный момент (относительно выбранного направления, пусть anticlockwise)
точки упорядочены, т.е. $1\rightarrow2$.
Однако в процессе движения порядок может нарушиться, т.е. $2$ может "проскочить" за $1$,
и наоборот. Для моей модели детектирование таких событий в любом случае будет нужно,
но как это сделать?! Не приводить углы к $2\pi$, а оставлять их абсолютными, $-\infty < \varphi < +\infty$ ?

[arseniiv]

denny в сообщении #1152328 писал(а):

В начальный момент (относительно выбранного направления, пусть anticlockwise)
точки упорядочены, т.е. $1\rightarrow2$.

Вообще-то, даже задав направление обхода окружности, можно говорить о порядке расположения $n$ точек только с точностью до их циклических перестановок. Для двух точек в результате толку ноль — $(1,2)$ и $(2,1)$ принадлежат одной и той же орбите.

[denny]

Рассмотрел все возражения и все-таки довел модель до ума.

Получается, что наиболее корректно угловое расстояние между упорядоченными точками $1 \rightarrow 2$ выдает функция $Mod(\varphi_2-\varphi_1, 2 \pi)$

В основе модель инфляции оставил той же. Каждый промежуток "хочет" расшириться на величину,
пропорциональную своему угловому размеру.
А чтобы сумма интервалов не превышала $2 \pi$ просто введем коррекцию:

$$ \Delta L_i=k\cdot (L_i-2 \pi/n)$$

После элементарных преобразований разностное уравнение для движения i-той точки имеет вид:

$$ \Delta \varphi_i=0.5\cdot k\cdot (2\cdot \varphi_i - \varphi_{prev(i)} - \varphi_{next(i)})$$

где используются функции:

$$next(i) := If[i == n, 1, i + 1]$$

$$prev(i) := If[i == 1, n, i - 1]$$

Если точки "перескакивают" друг друга, одна из них уничтожается.
Если длина одного из интервалов превышает некую критическую $\lambda$,
в случайном месте внутри него рождается новая точка.

Без рождения новых любая система быстро коллапсирует к одной точке.

При возможности рождения точек система также быстро выходит на режим случайных блужданий возле некоторого размера популяции,
который, очевидно, определяется только параметром $\lambda$ и не зависит от начального числа точек.

Вот график типичной эволюции:



А вот зависимость среднего размера популяции (после большого числа шагов) от критической длины:



В целом имхо получилось любопытно. Хотя непонятно - можно ли еще какие-то интересные выводы
сделать, или это собственно всё?