Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[PAV]

Собственно, парадокса здесь не более чем в том, что бесконечное множество может быть равномощно своему собственному подмножеству.

[Henrylee]

shwedka писал(а):

вам же объяснили, что количество шаров на конечном шаге НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ, что будет в полдень. Нельзя к пределу переходить.

Это объясняли не мне. Вы меня с кем-то попутали. Мне этого объяснять не нужно.

shwedka писал(а):

Но набор шаров случаен.

При случайном выбрасывании одного шара количество шаров, оставшихся в полдень будет случайной величиной. Вы это хотите сказать?

[AD]

Macavity писал(а):

Так и Вы, уважаемый не пользуйтесь предельным переходом, а то получается, что Вам вроде как можно предел по времени получать... Парадокс от сюда из-за Ваших расуждений и выезжает, как в известном случае с Черепахой и Ахиллом...

И еще раз объясняю. По условию (в одной из трактовок, которую вы приняли в своём рассуждении), требуется найти

$$\mu\left(\lim_{n\to\infty}A_n\right)$$

, где $\mu$ - считающая мера на $\mathbb{N}$. Этот предел записан в условии задачи. Вы утверждаете, что

$$\mu\left(\lim_{n\to\infty}A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mu A_n$$

. Это необоснованно. Весь "парадокс" в том и состоит, что это не только необоснованно, но и просто неверно.

Macavity писал(а):

AD писал(а):

Macavity писал(а):

Конечно, это не более чем абсолютно нестрогий набросок

Думаю, не всё так плохо, всё гораздо хуже.

А на личности переходить и вовсе не обязательно, в Вашем то возрасте...

А где вы тут видели переход на личности? Я говорил исключительно про "доказательство" ваше. Читать надо уметь.

Someone писал(а):

AD писал(а):

Пример TOTALа ... говорит, что ограничиваться отысканием верхнего предела в таких задачах опасно.

Вы хотите какой-то универсальной формализации для всех задач "подобного" рода, которые можно выдумать? Тогда я пас. Я говорил о первоначальной задаче и ничего не хотел сказать о примере TOTALа.

Просто утверждаю, что формализация задачи как задачи поиска именно верхнего предела не совсем естественна. Хотя, раз верхний предел пуст, то нижний тем более пуст. Но это уже постфактум, после решения задачи. Неестественность вроде бы понятна на примере TOTALа. Согласен, то, что я говорю тут, имеет весьма слабое отношение к математике.

[Henrylee]

AD писал(а):

Просто утверждаю, что формализация задачи как задачи поиска именно верхнего предела не совсем естественна. Хотя, раз верхний предел пуст, то нижний тем более пуст. Но это уже постфактум, после решения задачи.

Разве "пустота" нижнего предела не проверяется непосредственно?

Swedka, Вашу задачу я сперва недооценил. А ведь интересно выходит на первый взгляд.

[PAV]

А вот вероятностная модель, которую предложила shwedka, приводит к красивой задаче, которую даже на олимпиадах давать можно. Итак, на каждом шаге у нас добавляется 10 очередных шаров, а один случайным образом извлекается. Поскольку число шаров в урне конечно, то извлекаем просто с равной вероятностью.

Пусть некоторый шар попал в урну на шаге $N$. Вероятность того, что его не извлекут на "первом" (относительно $N$) шаге, равна $1-\frac{1}{10N}$, на втором - $1-\frac{1}{10(N+1)}$ и так далее. Отсюда вероятность того, что его не извлекут никогда, равна произведению

$$ \prod\limits_{k=N}^\infty\left(1-\frac{1}{10k}\right) = 0. $$

Математическое ожидание количества шаров в полдень равно сумме по всем шарам таких вероятностей, т.е. ноль.

Оно может быть ненулевым, если скорость добавления шаров в урне будет больше, так что произведение сойдется к положительному числу.

[AD]

Henrylee писал(а):

Разве "пустота" нижнего предела не проверяется непосредственно?

Конечно, проверяется. Только вот Someone предложил трактовку условия, в котором на него вообще внимания не обращается ... Ну ладно, проехали, действительно.

[TOTAL]

shwedka писал(а):

TOTAL

Цитата:

Не удержались от втаскивания вопроса 'какой'. Удаляйте просто 1 шар.

Просто один шар не бывает. Каждый шар какой-то. Объясните технологически, как можно взять ПРОСТО ОДИН ШАР. Даже только один раз.

Не объясню. Во всем этом фокусе-покусе-парадоксе не только это технологически неосуществимо. Это идеальная процедура. Вы же не задаете вопроса, как можно так много шаров запихать в ящик или какую именно единицу отнимаете в равенстве $5-1=4$.

Вообще очевидно, что никакой это не парадокс. Если фокусник-парадоксист точно сформулирует задачу (в данном случае точно скажет, что он подразумевает под количеством шаров в полдень), то ответ будет легким и однозначным. Например, если он спросит, существует ли шар хоть с каким нибудь номером (если да, то указать номер!), который попадет в ящик и долежит в нем до полудня, то первоклассник легко ответит, что не существует. Не парадокс это, а обман.

[shwedka]

TOTAL

Цитата:

Если фокусник-парадоксист точно сформулирует задачу (в данном случае точно скажет, что он подразумевает под количеством шаров в полдень), то ответ будет легким и однозначным.

Ну, легким не всегда. А с остальным - согласна. За парадоксами часто стоит недоговоренность, или даже непонимание задающего парадокс.

[Macavity]

AD писал(а):

Macavity писал(а):

Так и Вы, уважаемый не пользуйтесь предельным переходом, а то получается, что Вам вроде как можно предел по времени получать... Парадокс от сюда из-за Ваших расуждений и выезжает, как в известном случае с Черепахой и Ахиллом...

И еще раз объясняю. По условию (в одной из трактовок, которую вы приняли в своём рассуждении), требуется найти

$$\mu\left(\lim_{n\to\infty}A_n\right)$$

, где $\mu$ - считающая мера на $\mathbb{N}$. Этот предел записан в условии задачи. Вы утверждаете, что

$$\mu\left(\lim_{n\to\infty}A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mu A_n$$

. Это необоснованно. Весь "парадокс" в том и состоит, что это не только необоснованно, но и просто неверно.

То есть получается, что

$$\mu\left(A_1\right)=9$$

- правильно

$$\mu\left(A_2\right)=18$$

- правильно
и

$$\mu\left(A_3\right)=27$$

- правильно

и даже

$$\mu\left(A_{j+1}\right)>\mu\left({A_j}\right)$$

для всех натуральных j правильно.

И растет эта мера неограниченно, но заканчивается всё так:

$$\mu\left(\lim_{n\to\infty}A_n\right)=0$$

Или нет?

[AD]

Macavity.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\begin{cases}\frac1x,&\hbox{ если $x\neq0}$\cr0,&\hbox{ если $x=0$.}\end{cases}$$

То есть получается, что
$f(1)=1$ - правильно.
$f\bigl(\tfrac12\bigr)=2$ - правильно.
$f\bigl(\tfrac13\bigr)=3$ - правильно.
И даже $f\bigl(\tfrac1{j+1}\bigr)>f\bigl(\tfrac1j\bigr)$ для всех натуральных $j$ правильно.

И растет эта функция неограниченно, но заканчивается всё так:

$$f\left(\lim_{n\to\infty}\tfrac1n\right)=f(0)=0$$

Вывод тот же - предельный переход необоснован, то есть

$$\lim_{n\to\infty}f\bigl(\tfrac1n\bigr)\neq f\left(\lim_{n\to\infty}\tfrac1n\right)$$

Для этого существует понятие непрерывных функций - это в точности те функции, для которых подобный предельный переход возможен. Как видите, не все функции являются непрерывными.

То же самое - с теорией меры. И терминология даже близкая - говорят о непрерывности меры. Считающая мера на $\mathbb{N}$ не является непрерывной.

[Macavity]

AD писал(а):

И растет эта функция неограниченно, но заканчивается всё так:

Для этого существует понятие непрерывных функций - это в точности те функции, для которых подобный предельный переход возможен. Как видите, не все функции являются непрерывными.

То же самое - с понятием "мера". И терминология даже близкая - говорят о непрерывности меры.

Да, хороший пример.
Но в нашем случае на самом деле речь идет о функции, значениями которой являются частичные суммы ряда, который неограниченно возрастает. Пример, Вам, придется подправить.

[AD]

Macavity писал(а):

Но в нашем случае на самом деле речь идет о функции, значениями которой являются частичные суммы ряда, который неограниченно возрастает.

Где вы видели ряд? Я даже значок $\Sigma$ ни разу не встречал в этой теме. И как ряд может возрастать?

[Macavity]

AD писал(а):

Macavity писал(а):

Но в нашем случае на самом деле речь идет о функции, значениями которой являются частичные суммы ряда, который неограниченно возрастает.

Где вы видели ряд? Я даже значок $\Sigma$ ни разу не использовал. И как ряд может возрастать?

Тогда Вам не стоило за меня вырисовывать формулы и делать выводы. Раз Вы не поняли, что я имел ввиду.

[AD]

Я понял, что вы имели ввиду. Если вы утверждаете, что я понял это неправильно - уточнять надо.

[Dan B-Yallay]

А что если не будем ложить десять шаров и вынимать один. Берем по десять из кучи, но в ящик ложим лишь 9, а номера 10,20,30 и т.д. кратные 10 - складывать возле, как будто они их только что вытащили из ящика .

Чтобы удовлетворять условиям задачи, наймем Чертика чтобы он на первом шаге

а) стер нолик у шара №10 возле ящика и превратил его в №1, затем
б) прыгнул внутрь ящика и сложенные шарики перенумеровал так, чтобы внутри были номера с 2 по 10.

На втором шаге соответственно стер нолик у шара №20 -->2 и выдал номера с 3 по 20 шарикам внутри. И вообще пусть он на каждом шаге следит за тем, чтобы чтобы нумерация шариков внутри и снаружи ящика была "правильной".

1) Сколько шариков будет в ящике по "истечении времени"?
2) Можно ли назвать хоть один номер "внутри" ящика?.


ЗЫ

А еще интереснее если менять задачу не так радикально. Пусть мы складываем десять и вынимаем один как и положено. Просто в момент когда мы положили очередные десять шаров в урну, Чертик сидящий внутри мгновенно перенумеровал шарики в "обратном" порядке и мы, не зная этого, вынимаем не тот шар который нам нужен, а последний в только что положенной десятке. Будет ли такая постановка задачи парадоксом?