10. Пусть множества
ограничены и непусты. Доказать, что
а)
.
Доказательство.
Согласно зад.3 п.а, множество
ограничено, и число
будет его верхней гранью. По определению т.в.г.,
и
. Применяя зад.6 листка 7, получим
. При
либо
(но не одновременно!) неравенство остается справедливым.
б)
.
Доказательство.
Аналогично пункту а, только поменять знаки неравенств на противоположные.
в)
.
Доказательство.
По определению т.в.г.,
и
.
Следовательно, для
. При этом
. Это доказывает искомое равенство.
г)
.
Доказательство.
Аналогично пункту в, только поменять знаки неравенств на противоположные.
д)
, если
.
Доказательство.
Пересечение множеств по определению не содержит никаких новых элементов, которых нет в пересекаемых множествах, поэтому
не может быть ни меньше
, ни меньше
, значит
и
. Можно записать это короче:
.
Рассуждая аналогично, получим что
и
, или, короче,
.
По определению т.в.г. и т.н.г.,
, следовательно
.
-- 20.09.2016, 15:01 --11. Множество иррациональных чисел не пусто.
Доказательство.
Согласно задаче 8, множество рациональных чисел, квадрат которых меньше числа 3, не имеет в
точной верхней грани. Но по аксиоме о т.в.г., она должна существовать для этого множества в
. Раз ее нет в
, она может быть только иррациональным числом. Из существования как минимум одного иррационального числа следует что множество иррациональных чисел не пусто.