Чудесное доказательство

[lasta]

iifat в сообщении #1151357 писал(а):

Теорема, повторюсь, неверна. Стало быть, по-ваашему, существует $t$, такое что $2^2-t^2$ — полный квадрат. Не назовёте мне это $t$?

Уважаемый iifat!
Мы рассматриваем оба случая. Когда теорема верна и когда теорема не верна. Вы приводите случай, для чисел, не представляющих пример для уравнения Ферма, когда теорема не верна. Такой пример еще никто не мог привести. Поэтому из Вашего примера ни чего не следует.
Что касается квадратов, то бесконечный спуск здесь не применим. Это, конечно, не касается Вашего примера.
-- 15.09.2016, 18:09 --

yk2ru в сообщении #1151304 писал(а):

И если теорема верна хотя бы для одной тройки взаимно простых чисел, то эту тройку и далее получающиеся можно будет домножить бесконечное количество раз на кубы простых чисел. Так что исходный куб может содержать сколько угодно множителей, это возможно при наличии минимальной тройки чисел, решения уравнения ферма.,

Уважаемый yk2ru, правильнее, если теорема не верна и существует хотя бы одна тройка... То действительно ее можно было бы умножать сколько угодно. Но, все дело в том, что необходимо сначала доказать, что теорема неверна

[lasta]

shwedka в сообщении #1151334 писал(а):

Перепишите теперь первые 10 строк доказательства

lasta в сообщении #1151338 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t)$.
Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Но если правая часть (2) сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.

Уважаемая shwedka!
Я безлико выставил эти 10 строк, чтобы получить замечания от участников форума. Мы обсудили один момент с заслуженным участником iifat. Других вопросов не было, поэтому предлагаю этот фрагмент без дополнительной корректировки.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151338 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t)$.
Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

На этом месте стоп. Не указано, для каких значений переменной такое случается.


нужно написать

Если теорема не верна, TO ДЛЯ НЕКОТОРЫХ$ N_2, t_2$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

Если не согласны, спорьте. Если считаете, что для всех, сразу это "для всех" доказывайте..

[lasta]

shwedka в сообщении #1151415 писал(а):

Если теорема не верна, TO ДЛЯ НЕКОТОРЫХ$ N_2, t_2$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

Это действительно так. Не для всех же значений может образоваться пара кубов. Но, это не затрагивает кубы на следующих шагах, так как они не связаны с этими кубами какими-то преобразованиями.
Поэтому я согласен с уточненной формулировкой,- "Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151338 писал(а):

Для произвольного составного куба

lasta в сообщении #1151338 писал(а):

Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов

Если берётся произвольное число $N$, то даже если теорема не верна, то это самое число может и не быть числом из тройки чисел, которое является решением уравнения, так как оно у вас взято абсолютно произвольно. И значит совершенно нельзя его куб приравнять к сумме кубов.

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151428 писал(а):

Если берётся произвольное число $N$, то даже если теорема не верна, то это самое число может и не быть числом из тройки чисел, которое является решением уравнения, так как оно у вас взято абсолютно произвольно. И значит совершенно нельзя его куб приравнять к сумме кубов.

Вы сказали то, что и нужно. Произвольное представляет все возможные случаи и отвечает на все случаи. Существует или не существует тройка уже не важно.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151426 писал(а):

shwedka в сообщении #1151415 писал(а):

Если теорема не верна, TO ДЛЯ НЕКОТОРЫХ$ N_2, t_2$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

Это действительно так. Не для всех же значений может образоваться пара кубов. Но, это не затрагивает кубы на следующих шагах, так как они не связаны с этими кубами какими-то преобразованиями.
Поэтому я согласен с уточненной формулировкой,- "Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))

Не надо фрагментов и общих слов. Поместите заново свое доказательство, с принятым исправлением, и тогда мы увидим, что кого затрагивает.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151437 писал(а):

Поместите заново свое доказательство, с принятым исправлением

Уважаемая shwedka!
Доказательство
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, существует тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $1<t_5^3<N_5^3$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен. Составной куб для этих тождеств уже существует, что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми. И они уже влияют на начальный этап спуска.
Все дело в том, что новый составной куб является сомножителем исходного составного куба. То есть мы получили на первом этапе, что исходный составной куб состоит из трех сомножителей. Действительно, подставим значение $N_2^3=N_4^3N_5^3$ в исходный составной куб. $N^3=N_1^3N^3_2=N_1^3N^3_4N_5^3$. Тогда, можно сократить два сомножителя $(N_1^3,N^3_4)$ в исходном тождестве и сразу утверждать, что правая часть не может быть представлена двумя кубами.
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска существует тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и формировались бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда бы существовало следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. И исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151443 писал(а):

Доказательство
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t)$.
Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Но если правая часть (2) сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, существует тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $1<t_5^3<N_5^3$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен. Как это влияет на начальный этап спуска?
Все дело в том, что новые составные кубы являются сомножителями исходного составного куба.

На этом месте Вам следует привести доказательство, что числа $N_4, N_5 $
не могут быть простыми, как раз в случае, когда

Цитата:

правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151444 писал(а):

На этом месте Вам следует привести доказательство, что числа $N_4, N_5 $
не могут быть простыми

Уважаемая shwedka!
Я внес в текст доказательства следующее дополнение

lasta в сообщении #1151443 писал(а):

Составной куб для этих тождеств уже существует, что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми. И они уже влияют на начальный этап спуска.

На этом этапе спуска важно, что существуют новые кубы $N_4^3, N_5^3$ . Что их основания не простые числа доказывается на следующих шагах спуска.

-- 15.09.2016, 23:06 --

.[/quote]

shwedka в сообщении #1151444 писал(а):

На этом месте Вам следует привести доказательство, что числа $N_4, N_5 $
не могут быть простыми

Уважаемая shwedka!
Я внес в текст доказательства следующее дополнение

lasta в сообщении #1151443 писал(а):

Составной куб для этих тождеств уже существует, что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми. И они уже влияют на начальный этап спуска.

Исправлена также фраза "Все дело в том, что новые составные кубы являются сомножителями исходного составного куба" на,- "Все дело в том, что новый составной куб является сомножителем исходного составного куба"
На этом этапе спуска важно, что существуют новые кубы $N_4^3, N_5^3$ . Что их основания не простые числа доказывается на следующих шагах спуска.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151449 писал(а):

Составной куб для этих тождеств уже существует, что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми. И они уже влияют на начальный этап спуска.

Ан нет! Мы занимаемся составлением полного доказательства. На каждом шаге Вы помещаете заново доказательство со всеми исправлениями и объяснениями, и его исправляем дальше.
Фрагментарные исправления не годятся.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151453 писал(а):

Фрагментарные исправления не годятся.

Благодаря Вашим оперативным замечаниям, я успел внести исправления в существующее полное доказательство. Был еще запас времени на исправление текста полного доказательства.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151449 писал(а):

Составной куб для этих тождеств уже существует

Слова 'куб для тождества' не имеют смысла. Попытайтесь выражаться грамотно.

-- Чт сен 15, 2016 20:16:27 --

shwedka в сообщении #1151453 писал(а):

На каждом шаге Вы помещаете заново в новом посте доказательство со всеми исправлениями и объяснениями, и его исправляем дальше.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151458 писал(а):

Слова 'куб для тождества' не имеют смысла. Попытайтесь выражаться грамотно.

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
можем сформировать новое тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $1<t_5^3<N_5^3$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен. Составной куб, на основании которого сформированы эти тождества уже существует, что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми. И они уже влияют на начальный этап спуска.
Все дело в том, что новый составной куб является сомножителем исходного составного куба. То есть мы получили на первом этапе, что исходный составной куб состоит из трех сомножителей. Действительно, подставим значение $N_2^3=N_4^3N_5^3$ в исходный составной куб. $N^3=N_1^3N^3_2=N_1^3N^3_4N_5^3$. Тогда, можно сократить два сомножителя $(N_1^3,N^3_4)$ в исходном тождестве и сразу утверждать, что правая часть не может быть представлена двумя кубами.
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и формировались бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда бы существовало следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. И исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151463 писал(а):

"Числовое значение составного куба для этих тождеств уже существует"

По-прежнему, слова 'значение для тождества' смысла не имеют.

-- Чт сен 15, 2016 20:52:59 --

lasta в сообщении #1151463 писал(а):

существует тождество

лексическая ошибка. Тождество (уравнение, неравенство, формула...) существует всегда, как только его кто-то написал. Другое дело, что тождество может быть верным, выполненным, доказанным, или, наоборот, ошибочным, невыполненным.

-- Чт сен 15, 2016 21:02:43 --

lasta в сообщении #1151463 писал(а):

shwedka в сообщении #1151458 писал(а):

Слова 'куб для тождества' не имеют смысла. Попытайтесь выражаться грамотно.

Внес исправление. Заменил фразу "составной куб для этих тождеств уже существует" на, - "Числовое значение составного куба для этих тождеств уже существует"

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, существует выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $1<t_5^3<N_5^3$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.Числовое значение составного куба для этих тождеств уже существует, ПОНЯТИЕ 'ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ТОЖДЕСТВА' НЕ ОПРЕДЕЛЕНО,
что доказано ранее,[b] Не доказано, поскольку само утверждение лишено смысла .

Теперь нужно исправить замечания и только потом идти дальше.