Чудесное доказательство

[lasta]

shwedka в сообщении #1150895 писал(а):

Таким образом, вы получили то же равенство Ферма, с которого начали, то есть спуска нет.

Уважаемая shwedka!
Это доказательство лишь того, что Вы просили доказать. То есть,что мы имеем дело со всеми возможными кубами.
Мы не затрагивали существующее доказательство. Где процесс идет в следующем порядке. Произвольный куб -$(N_1^3N_2^3)$, затем тождество с общим делителем, потом сокращение общего делителя и получение тождества с взаимно простыми числами.Далее обоснование появления новых составных кубов, меньших предыдущих. что на самом деле так и есть. Так как на каждом шаге спуска мы сокращаем общий делитель и т.д.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150898 писал(а):

Далее обоснование появления новых составных кубов, меньших предыдущих.

Неверно!
В своем рассуждении Вы опираетесь на появление новых невзаимнопростых разложений. поскольку только для них Вы можете уменьшить Вашу тройку.
Такое появление Вы не доказали.

[lasta]

Обоснование появления составного куба на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска существует тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t^3+(N_j^3-t^3)$$

Если бы выражение $(N_j^3-t^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t^3+N_{j+1}^3$$

То тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равен сумме кубов. Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$ Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб для формирования двух тождеств для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3)$$

и после сокращения общего делителя, второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3)$$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах спуска, то он появлялся бы на всех шагах спуска. И каждый следующий составной куб был бы меньше предыдущего, так как на каждом шаге спуска делается сокращение общего делителя.

[venco]

lasta в сообщении #1150925 писал(а):

Пусть на произвольном шаге спуска существует тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t^3+(N_j^3-t^3)$$

Если бы выражение $(N_j^3-t^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t^3+N_{j+1}^3$$

То тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равен сумме кубов. Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$ Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб для формирования двух тождеств для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3)$$

Откуда здесь взялся множитель $N_{j+2}^3$ перед $t^3$?

[shwedka]

lasta в сообщении #1150925 писал(а):

Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб для формирования двух тождеств для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3)$$

и после сокращения общего делителя, второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3)$$

Хорошо, зафиксировано.
А теперь объясните, почему выражение в скобках в последних двух формулах должно быть кубом.

[venco]

shwedka, вы не на то обращаете внимание.
Если бы $N_{j+1}$ и $t$ делились на $N_{j+2}$, то и выражение в скобках, как частное двух кубов, было бы кубом. Но фишка в том, что они не обязаны делиться на $N_{j+2}$. Более того, если числа в исходном равенстве взаимно простые, то они и не могут делиться.

[lasta]

shwedka в сообщении #1150937 писал(а):

А теперь объясните, почему выражение в скобках в последних двух формулах должно быть кубом.

Уважаемая shwedka!
На каждом шаге спуска мы утверждаем, что правая часть тождеств не может быть суммой двух кубов, так как в противном случае упомянутое выражение в скобках $(N_{j+3}^3 -t^3)$ становилось бы кубом и тогда существовал бы следующий шаг с составным кубом, меньшим чем в предыдущем шаге и существовали бы новые тождества со всеми свойствами предыдущих. И мы снова утверждали бы, что правая часть новых тождеств не может быть суммой двух кубов, так как в противном случае существовал бы еще меньший составной куб и т.д. до бесконечности.

-- 13.09.2016, 20:26 --

venco в сообщении #1150969 писал(а):

Если бы $N_{j+1}$ и $t$ делились на $N_{j+2}$, то и выражение в скобках, как частное двух кубов, было бы кубом. Но фишка в том, что они не обязаны делиться на $N_{j+2}$. Более того, если числа в исходном равенстве взаимно простые, то они и не могут делиться.

Уважаемый venco!
Позвольте мне также ответить на этот вопрос.
Было уже отмечено, что каждый новый составной куб получается не операцией деления, а на основании свойства суммы
кубов, которая всегда является составным числом. Поэтому кубы $(N_{j+1}^3,\quad t^3)$ и не делились на $(N_{j+2}^3)$, а вывод, что куб $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$ сделан на основании свойства суммы кубов.
И Вы правильно отметили, что эти кубы $(N_{j+1}^3,\quad t^3)$ и не могут делиться на $(N_{J+2})$

[venco]

Ну так ответьте на это:

venco в сообщении #1150929 писал(а):

lasta в сообщении #1150925 писал(а):

Пусть на произвольном шаге спуска существует тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t^3+(N_j^3-t^3)$$

Если бы выражение $(N_j^3-t^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t^3+N_{j+1}^3$$

То тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равен сумме кубов. Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$ Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб для формирования двух тождеств для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3)$$

Откуда здесь взялся множитель $N_{j+2}^3$ перед $t^3$?

[shwedka]

lasta в сообщении #1150970 писал(а):

что правая часть тождеств не может быть суммой двух кубов, так как в противном случае упомянутое выражение в скобках $(N_{j+3}^3 -t^3)$ становилось бы кубом и тогда существовал бы следующий шаг

Так, действительно получается, что на каком-то шаге выражение $(N_{j+3}^3 -t^3)$ не будет кубом. Я не вижу рассуждения, которое в связи с этом запрещает аналогичному выражению на первом шаге быть кубом.

[lasta]

venco в сообщении #1150976 писал(а):

Откуда здесь взялся множитель $N_{j+2}^3$ перед $t^3$?

На основании того, что для создания бесконечного спуска мы используем это тождество, которое разлагает составной куб в указанную сумму.

[venco]

lasta в сообщении #1150980 писал(а):

venco в сообщении #1150976 писал(а):

Откуда здесь взялся множитель $N_{j+2}^3$ перед $t^3$?

На основании того, что для создания бесконечного спуска мы используем это тождество, которое разлагает составной куб в указанную сумму.

Составной куб раскладывается в сумму $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3=t^3+N_{j+1}^3$.
Откуда у вас справа появились множители $N_{j+2}^3$?

[lasta]

shwedka в сообщении #1150979 писал(а):

Так, действительно получается, что на каком-то шаге выражение $(N_{j+3}^3 -t^3)$ не будет кубом. Я не вижу рассуждения, которое в связи с этом запрещает аналогичному выражению на первом шаге быть кубом.

lasta в сообщении #1150836 писал(а):

Можем утверждать, что правая часть (1) не может быть суммой двух кубов. Так как в этом случае разность кубов $(N_2^3-t^3) $ была бы кубом.
И мы могли бы записать $N_2^3-t^3=N_3^3$, или $N_2^3=t^3+N_3^3$ и $N_2^3$ был бы составным кубом, так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Для этого составного куба имели бы новое тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t^3+ N_4^3( N_5^3-t^3 ) ,$$

где текущий куб $1<t^3<N_5^3$. Снова, сократив общий делитель, получили бы новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t^3+ ( N_5^3-t^3 )\qquad \e (2) $$

[venco]

Не вижу ответа на свой вопрос.

[lasta]

venco в сообщении #1150984 писал(а):

Откуда у вас справа появились множители $N_{j+2}^3$?

Получив новый составной куб, мы составляем новое тождество, в котором используются другие кубы. Напомню, что $t^3$ - это текущий куб и имеет другое значение в новом тождестве. Также вместо куба $N_{j+1}^3$ используется другой куб $N_{j+3}^3$. То есть тождества получаются также не линейной операцией.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150989 писал(а):

И мы могли бы записать $N_2^3-t^3=N_3^3$, или $N_2^3=t^3+N_3^3$ и $N_2^3$ был бы составным кубом, так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Для этого составного куба имели бы новое тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t^3+ N_4^3( N_5^3-t^3 ) ,$$

Напишите подробно преобразования, с помощью которых из
$N_2^3=t^3+N_3^3$ , $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
получается

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t^3+ N_4^3( N_5^3-t^3 ) ,$$