Чудесное доказательство

[lasta]

В одном из главных вопросов по теме Уважаемая shwedka задала вопрос о преобразованиях, с помощью которых из
$N_2^3=t_2^3+N_3^3$ , $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
получается

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) ,$$

Здесь по её же замечанию я проставил индексы для куба $(t^3)$. shwedka правильно указала, что использование термина "текущий куб" не допустимо для заложенного смысла его назначения.
Я уточняю эти детали, так как этот вопрос является главным по сути доказательства. Ведь если бы существовали какие-то алгебраические преобразования между тождествами в соседних шагах спуска, то доказательство могло бы быть мигом разрушено. Но как было показано в ответе между кубами новых и предыдущих тождеств существует только логическая связь. А это является основным принципом выбранного метода бесконечного спуска.

-- 14.09.2016, 09:10 --

lasta в сообщении #1151014 писал(а):

Пусть будет не текущий куб, а куб с тем же индексом, как у второго куба в скобках. То есть $(N_3^3-t_3^3); \quad (N_5^3-t_5^3)$.

lasta в сообщении #1151024 писал(а):

А составной куб существует только при условии, что $(N_3^3-t_3^3)$ является кубом

lasta в сообщении #1151021 писал(а):

первая упомянутая скобка $(N_3^3-t_3^3)$. То есть, Вы спрашиваете, что если на втором шаге $(N_5^3-t_5^3)$ не является кубом, то как это доказывает, что $(N_3^3-t_3^3)$ не является кубом?
Появление этих кубов связано с существованием составного куба $(N^3_4N_5^3)$, который существует только при условии, что $(N_3^3-t_3^3)$ - куб. А если эта скобка не куб, то ВТФ сразу же верна в исходном тождестве.

Опечатки. Все выражения $(N_3^3-t_3^3)$ должны быть $(N_2^3-t_2^3)$

[shwedka]

lasta в сообщении #1151053 писал(а):

Я уточняю эти детали,

Не надо уточнять детали.
Приведите заново Ваше 'доказательство' с самого начала, с учетом всех изменений и уточнений.
с самого начала и подробно.
И не нужно потока сознания. пишите законченными предложениями.

[ananova]

lasta в сообщении #1151053 писал(а):

$(N_2^3-t_2^3)$

lasta
К вопросу о разности кубов и составных числах этой разности, обратите внимание на формулу тут: http://dxdy.ru/post1151082.html#p1151082
Надеюсь, пригодится.

[ishhan]

lasta в сообщении #1150893 писал(а):

Откуда следует наше тождество

$$N_2^3=t^3+(N_2^3-t^3)$$

Уважаемый lasta!
А если к примеру на каждом шаге спуска переставить скобки так и эдак:

$$N_2^3=(t^3+N_2^3)-t^3=t^3+(N_2^3-t^3)$$

По-вашему объяснению (про соседние кубы) получается, что первый способ расстановки скобок недопустим.
А может быть

$$N_1=...=N_j=1$$

И ещё, сумма двух кубов не всегда составное число:

$$1^3+1^3=2$$

Поясните, если есть свободная минуточка)

[lasta]

ishhan в сообщении #1151172 писал(а):

И ещё, сумма двух кубов не всегда составное число:

$$1^3+1^3=2$$

Поясните, если есть свободная минуточка)

Уважаемый ishhan, это сразу подтверждает справедливость ВТФ.

-- 15.09.2016, 07:00 --
Представляю исправленное и дополненное доказательство.
Для вывода формул Абель использовал тождество $(x+y)-y=x$. В нашем случае тождества лишь немногим сложнее.
А логика спуска противоположная известным. Применен логический ход - Если не существует это решение, то не существует меньшее, если не существует меньшее, то не существует еще меньшее и т. д. до бесконечности
Доказательство
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t)$.
Правая часть (2) не может быть суммой двух кубов. Иначе разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ была бы кубом (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$ и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, существует тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $1<t_5^3<N_5^3$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен. Как это влияет на начальный этап спуска?
Все дело в том, что новые составные кубы являются сомножителями исходного составного куба. То есть мы получили на первом этапе, что исходный составной куб состоит из трех сомножителей. Действительно, подставим значение $N_2^3=N_4^3N_5^3$ в исходный составной куб. $N^3=N_1^3N^3_2=N_1^3N^3_4N_5^3$. Тогда, можно сократить два сомножителя $(N_1^3,N^3_4)$ в исходном тождестве и сразу утверждать, что правая часть не может быть представлена двумя кубами.
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска существует тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и формировались бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует только одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$. Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих. потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда бы существовало следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. И исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить показатель 3 на простой показатель $(p)$

[ishhan]

lasta в сообщении #1151266 писал(а):

Уважаемый ishhan, это сразу подтверждает справедливость ВТФ.

Уважаемый lasta!
Спасибо, хороший ответ.
Вы записываете уравнение Ферма

$$x^3+y^3=z^3$$

в виде

$$z^3=y^3+(z^3-y^3)$$

Далее опираясь на то, что $(z^3-y^3)$ не может быть кубом доказываете, что исходное уравнение не выполняется для целых чисел.
То есть из того, что уравнение Ферма не верно следует, что уравнение Ферма не верно.
Чудно)))

[lasta]

ishhan в сообщении #1151286 писал(а):

То есть из того, что уравнение Ферма не верно следует, что уравнение Ферма не верно.
Чудно)))

Уважаемый ishhan!
Хороший вопрос. Но только Вы не поняли логику доказательства даже первого шага спуска. А логика такова, если теорема не верна, то существует следующий составной куб. И теперь применяется логика ко второму шагу. А она такова. Если теорема не верна, то существует следующий шаг, а если теорема верна, то есть нет спуска, то возвращаемся к исходному тождеству, но уже с полученным новым составным кубом, и исходный куб состоит уже из трех сомножителей, два из которых тогда сокращаются в исходном тождестве. И исходное тождество с взаимно простыми числами будет представлено тождеством второго шага спуска.
То есть рассматриваются оба исхода, ВТФ - не верна и верна. А не так как трактуете вы.- не верна, не верна.
При такой логике, в результате спуска исходный составной куб будет состоять из бесконечного числа произвольных сомножителей, что невозможно получить ни каким алгебраическим преобразованием.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151295 писал(а):

куб будет состоять из бесконечного числа произвольных сомножителей, что невозможно получить ни каким алгебраическим преобразованием.

И если теорема верна хотя бы для одной тройки взаимно простых чисел, то эту тройку и далее получающиеся можно будет домножить бесконечное количество раз на кубы простых чисел. Так что исходный куб может содержать сколько угодно множителей, это возможно при наличии минимальной тройки чисел, решения уравнения ферма.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151266 писал(а):

Доказательство
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t)$.
Правая часть (2) не может быть суммой двух кубов.

lasta в сообщении #1151295 писал(а):

А логика такова, если теорема не верна, то существует следующий составной куб.

давайте остановимся.
Пожалуйста, сформулируйте Ваше понимание слов 'если теорема не верна'.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151306 писал(а):

давайте остановимся.
Пожалуйста, сформулируйте Ваше понимание слов 'если теорема не верна'.

Уважаемая shwedka!
Если теорема не верна, то правая часть (2) представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Разумеется для случая, когда теорема не верна, пример привести еще никто не мог.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151314 писал(а):

shwedka в сообщении #1151306 писал(а):

давайте остановимся.
Пожалуйста, сформулируйте Ваше понимание слов 'если теорема не верна'.

Уважаемая shwedka!
Если теорема не верна, то правая часть (2) представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна $5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$ Разумеется для случая, когда теорема не верна, пример привести еще никто не мог.

Нет, недостаточно точно нужно больше слов. нужно по поводу каждой формулы указывать, для каких значений букв она верна. В исходной постановке никакого $N_2, t_2$ нет.
Вам варианы, выбирайте.
устраивает?

существует целое число $ N$ и целые числа $a,b$, такие, что $N^3=a^3+b^3$
Или,если угодно
Существует число $ N$ и число $t$ ,такие , что $N^3-t^3$
-куб целого числа.
или, ближе всего к вашему

правая часть (2) МОЖЕТ БЫТЬ представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

То есть,не для любых значений переменных, а для некоторых. Для каких-то это сумма двух кубов, а для других - не сумма.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151317 писал(а):

правая часть (2) МОЖЕТ БЫТЬ представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

Хорошо. Выбираем этот вариант.
Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

[shwedka]

Вот и хорошо. Перепишите теперь первые 10 строк доказательства, (только не надо про Абеля),
всюду точно указывая, для каких значений переменных что-то выполнено и ли не выполнено.

[lasta]

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t)$.
Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217$$

Но если правая часть (2) сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.

[iifat]

lasta в сообщении #1151338 писал(а):

Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов

Что за чушь вы пишете?
Ну, хорошо. Для квадратов теорема неверна.
$10=5\times2$. $5^2\times2^2=5^2\times t^2+5^2(2^2-t^2)$, $2^2=t^2+(2^2\times t^2)$.
Теорема, повторюсь, неверна. Стало быть, по-ваашему, существует $t$, такое что $2^2-t^2$ — полный квадрат. Не назовёте мне это $t$?