Я, так сказать, обнажу мысль. Очевидно, открытое покрытие

не включает точку

, если при любом

расстояние от точки

до

больше

. Функция

по мере возрастания

убывает все быстрее и быстрее, что легко понять, взяв от нее производную. Поэтому достаточно, чтобы близкие к

точки просто получили достаточно большие номера.
Интересно было бы узреть пример точки, не задеваемой одной из стандартных нумераций рациональных чисел на

:
1) все целые промежутка
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
2) все несократимые дроби со знаменателем

в промежутке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
3) все целые промежутка
![$(1, 2]$ $(1, 2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/1/cd12c28343e0709b159a9ee1add4660882.png)
4) все несократимые дроби со знаменателем

в промежутке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
5) все несократимые дроби со знаменателем

в промежутке
![$(1, 2]$ $(1, 2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/1/cd12c28343e0709b159a9ee1add4660882.png)
6) все целые промежутка
![$(2, 3]$ $(2, 3]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/f/50fbc25c504a8c0bf6c4f369615850da82.png)
....
Интуиция подсказывает, что уже какое-нибудь

не будет задето.