Открытое покрытие Q не равно R

[ivvan]

arseniiv в сообщении #1150581 писал(а):

Нельзя, они могут быть сколь угодно большими для частичных объединений, а для полного диаметр будет бесконечным, как и у $\mathbb R$.

Да

-- 11.09.2016, 15:44 --

arseniiv в сообщении #1150581 писал(а):

объединение семейства интервалов можно представить как объединение семейства попарно непересекающихся интервалов (если считать интервалом и всю прямую).

Т.е. всё-таки теория меры не нужна (если объединение семейства интервалов - интервал, то см. диаметр).

[DeBill]

ivvan в сообщении #1150593 писал(а):

объединение семейства интервалов - интервал

Не всегда. И ваще, с бесконечными семействами - одна морока.
Мобыть, попроще - типа- возьмем отрезок длины 5. Если объед-ение интервалов есть вся прямая - то имеем открытое покрытие нашего отрезка...

(Оффтоп)

А пять - оно больше чем четыре.

[ivvan]

DeBill в сообщении #1150597 писал(а):

Не всегда.

Если не интервал, то и не прямая (как частный случай интервала).

[Anton_Peplov]

Можно поставить задачу от противного. Предъявить такую нумерацию рациональных чисел, чтобы указанное множество не покрывало, скажем, точку $x = \sqrt 2$.

P.S. Надежда удовольствоваться длинами промежутков кажется мне призрачной просто потому, что множество $\mathbb{R} \setminus A$, где $A$ - построенное открытое покрытие $\mathbb{Q}$, не содержит ни одного промежутка ненулевой длины. А упорное желание обойтись даже без самых простых фактов теории меры мне не вполне понятно. Если Вы имеете в виду, что авторы не могли рассчитывать на знакомство читателя с теорией меры, возражу: они вполне могли рассчитывать, что читатель удовольствуется формулировкой "длина равна четырем, а не бесконечности, значит, какое-то еще множество добавляет длины". Это тот же факт теории меры, только интуитивно понимаемый.

[ivvan]

Anton_Peplov в сообщении #1150606 писал(а):

"длина равна четырем, а не бесконечности, значит,

Мне кажется, написанное мной здесь лежит недалеко от этого.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1150606 писал(а):

Можно поставить задачу от противного. Предъявить такую нумерацию рациональных чисел, чтобы указанное множество не покрывало, скажем, точку $x = \sqrt 2$.

По-моему, в задаче не $\exists\text{нумерация}$, а $\forall\text{нумерация}$.

Anton_Peplov в сообщении #1150606 писал(а):

Надежда удовольствоваться длинами промежутков кажется мне призрачной просто потому, что множество $\mathbb{R} \setminus A$, где $A$ - построенное открытое покрытие $\mathbb{Q}$, не содержит ни одного промежутка ненулевой длины.

Да вроде DeBill только что всё собрал: если мы хотим покрыть интервал длины $a$ объединением интервалов суммарной длины меньше $a$, это не получится, потому что <разбор случаев>.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1150610 писал(а):

По-моему, в задаче не $\exists\text{нумерация}$, а $\forall\text{нумерация}$.

Ну, непокрытие всего $\mathbb{R}$ указанным множеством мы уже доказали, пусть и с теорией меры. Но ТС ведь хотел предъявить хоть одно конкретное непокрытое число. А коли так, проще начать со специально выдуманной под это число нумерации, чтобы потом рассмотреть общий случай.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1150606 писал(а):

Предъявить такую нумерацию рациональных чисел, чтобы указанное множество не покрывало, скажем, точку $x = \sqrt 2$.

Можно попробовать воспользоваться понятием меры иррациональности (https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_иррациональности)
Пусть для простоты у нас рассматриваются числа только на отрезке $[0,1]$ (разумеется, интервалы могут вылезать за край при желании) и нужно занумеровать все рациональные числа этого отрезка ($\mathbb{Q}[0,1]=\{r_n\}_{n=1}^\infty$) так, чтобы система интервалов $\bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} (-2^{-n}+r_n; \, 2^{-n} + r_n)$ не задевала $\sqrt{2}/2$.
Кажется, что такую последовательность можно попробовать строить даже вот так: нумеровать начальными номерами (в достаточно большом количестве) рациональные точки подальше от $\sqrt{2}/2$ - там их много - а потом, когда радиусы интервалов уменьшатся ниже безопасной величины, оставшиеся рациональные числа нумеровать естественным образом, в порядке возрастания знаменателя (а для чисел с равным знаменателем - в порядке возрастания числителя).

-- 11.09.2016, 17:43 --

Впрочем, со всей прямой целиком - всё ещё проще.

[Anton_Peplov]

Я, так сказать, обнажу мысль. Очевидно, открытое покрытие $\mathbb{Q}$ не включает точку $x$, если при любом $k$ расстояние от точки $x$ до $r_k$ больше $2^{-k}$. Функция $2^{-k}$ по мере возрастания $k$ убывает все быстрее и быстрее, что легко понять, взяв от нее производную. Поэтому достаточно, чтобы близкие к $x$ точки просто получили достаточно большие номера.
Интересно было бы узреть пример точки, не задеваемой одной из стандартных нумераций рациональных чисел на $\mathbb{R}_+$:
1) все целые промежутка $[0, 1]$
2) все несократимые дроби со знаменателем $2$ в промежутке $[0, 1]$
3) все целые промежутка $(1, 2]$
4) все несократимые дроби со знаменателем $3$ в промежутке $[0, 1]$
5) все несократимые дроби со знаменателем $2$ в промежутке $(1, 2]$
6) все целые промежутка $(2, 3]$
....
Интуиция подсказывает, что уже какое-нибудь $10^9 \pi$ не будет задето.

[worm2]

Я думаю, проще всего будет с числом $e$ (возможно, умножить на какое-то небольшое натуральное число).
В силу того, что "естественные" к нему приближения — несократимые дроби с очень удобными знаменателями.

[g______d]

Давайте, действительно, для простоты будем считать, что мы в отрезке $[0,1]$. Рассмотрим самую тупую нумерацию: сначала все (несократимые) со знаменателем 1, потом со знаменателем 2, 3, и т. д.

Утверждение: число $\sqrt{2}$ (и вообще любое алгебраическое число) будет покрыто только конечным количеством интервалов.

Это следует из теоремы Лиувилля: для числа, принадлежащего бесконечному числу интервалов, будет существовать последовательность рациональных аппроксимаций, сходящаяся к нему экспоненциально быстро (как функция знаменателя).

Ну а от конечного числа интервалов легко избавиться небольшой перенумерацией.

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #1150644 писал(а):

Интуиция подсказывает, что уже какое-нибудь $10^9 \pi$ не будет задето.

Кстати, а что, если рассмотреть само $\pi$? В рассмотренной нумерации число $3$ имеет номер $n = 4$ и полудлину интервала $2^{-4} = 1/16 < \pi - 3$, значит, при нумерации числа $3$ число $\pi$ не будет задето. Далее, число $3,1$ получит номер $n > 30$ и полудлину интервала $< 2^{-30}$, т.е. $\pi$ снова будет задето. Ну а $3,14$ получит номер $n > 300$ и полудлину интервала $< 2^{-300}$, и так далее. Тут главное выбрать число $x$ так, чтобы оно не было покрыто полуинтервалом ближайшего целого и полуинтервалом $x$, округленного до десятых долей. Далее см. http://dxdy.ru/post1150664.html#p1150664.

[DeBill]

worm2 в сообщении #1150646 писал(а):

Я думаю, проще всего будет с числом $e$ (

А еще лучше - с золотым сечением: его нельзя приблизить дробью $\frac{p}{q}$ с ошибкой, меньшей $\frac{1}{q^2}$. Так что, если его сдвинуть на целое число - типа, на 10, то для нумерации Anton_Peplov и будет непокрытость....Или даже не сдвигать?

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1150614 писал(а):

Можно попробовать воспользоваться понятием меры иррациональности

Да действительно, моё предыдущее сообщение распространяется на любые числа с конечной мерой иррациональности, в том числе $\pi$ и $e$.

[Anton_Peplov]

DeBill в сообщении #1150659 писал(а):

Или даже не сдвигать?

Для того, чтобы быть покрытым, иррациональное число должно иметь длинный ряд нулей в десятичной записи. Скажем, $1,0000006....$ будет покрыто при покрытии $1$, $1,60000001....$ будет покрыто при покрытии $1,6$, и так далее. Будет ли покрыто золотое сечение или $\pi$, зависит от того, найдется ли в его десятичной записи достаточно длинный ряд нулей, стоящий на нужном месте. Длина сильно зависит от места: даже миллиард нулей подряд не поможет, если начинается, скажем, с миллиардных долей. Поэтому из нормальности числа не следует его покрываемость.

Вот и ответ на вопрос ТС, что это за числа такие.