Открытое покрытие Q не равно R

[ievlev.pn]

Добрый день!

В книжке Виро, Харламова, Нецветаева и Иванова "Элементарная топология" в решении одной простой задачи об открытых множествах на прямой авторы предлагают считающим, что открытые множества на прямой устроены очень просто, убедиться в обратном на следующем примере. Пусть все числа из $\mathbb{Q}$ пронумерованы $\mathbb{Q} = \{ r_n \}_{n = 0}^{\infty}$. Требуется показать, что

$ \bigcup\limits_{k = 0}^{\infty} (-2^{-k}+r_k; \; 2^{-k} + r_k) \neq \mathbb{R} $

У меня совершенно не получается это сделать. Ясно, что у последовательности $r_k$ не может быть предела, но что дальше? Как предъявить точку, принадлежащую объединению, но не принадлежащую $\mathbb{R}$? Или это следует доказывать как-то иначе?

[Anton_Peplov]

ievlev.pn в сообщении #1150545 писал(а):

Как предъявить точку, принадлежащую объединению, но не принадлежащую $\mathbb{R}$?

Наоборот.

[ievlev.pn]

Anton_Peplov
Да, прошу прощения. Конечно, наоборот.

[Anton_Peplov]

ievlev.pn в сообщении #1150545 писал(а):

в решении к одной простой задачи об открытых множествах на прямой

Не могли бы Вы указать номер задачи? Видимо, я не заглядывал в решение, поэтому и пропустил такую прелесть.

[ievlev.pn]

Anton_Peplov
2.C

[Anton_Peplov]

А, ну да. Еще бы я в такой задаче в решение заглядывал.
Вообще, авторы поступили не очень удачно, спрятав рассматриваемую Вами задачу туда, куда половина из тех, кому она была бы интересна, не заглянет.

А идея тут такая. Чему равна сумма длин рассматриваемых интервалов?

[ievlev.pn]

Anton_Peplov
Да, Вы правы, они зря её так спрятали. Я тоже не заметил, когда читал в первый раз год назад.
Сумма длин равна четырём. Так же доказывается, что $\mathrm{mes } \; \mathbb{Q} = 0$. Но как предъявить точку? Или я чего-то не понимаю?

-- 11.09.2016, 12:07 --

$ \displaystyle \mathbb{R} \neq \bigcup\limits_{k = 0}^{\infty} (-2^{-k} + r_k; \; 2^{-k} + r_k) \Leftrightarrow \varnothing \neq \left( \bigcap\limits_{k = 0}^{\infty} (-\infty; \; -2^{-k} + r_k ] \right) \cup \left( \bigcap\limits_{k = 0}^{\infty} [2^{-k} + r_k, \; +\infty) \right) $

Из чего в свою очередь следует, что не пусто, например,

$ \bigcap\limits_{k = 0}^{\infty} [2^{-k} + r_k, \; +\infty) $

А оно не пусто почему? Потому что $\lim r_k \neq \infty$? (Иначе были бы пронумерованы не все числа из $\mathbb{Q}$).

[worm2]

Да как же ж Вы её предъявите, ежели конкретный способ нумерации рациональных чисел не указан?

[ievlev.pn]

worm2
Постойте. Я опять неловко выразился. Не предъявить, а доказать существование. Да, "сумма длин интервалов равна четырём, а не бесконечности" -- аргумент хороший, но мне до сих пор не очевидно, как из него следует, что искомые точки существуют.

[Anton_Peplov]

ievlev.pn в сообщении #1150558 писал(а):

но мне до сих пор не очевидно, как из него следует, что искомые точки существуют.

Из того, что множество, имеющее ненулевую меру, непусто.

[ievlev.pn]

Anton_Peplov
А обойтись без понятия меры тут нельзя?

-- 11.09.2016, 12:34 --

Скажем так. Не могли бы вы пояснить, как это доказывать, не ссылаясь на (пусть и самые простые) утверждения теории меры?

[iifat]

Может, вы сначала попробуете сформулировать исходное утверждение,

ievlev.pn в сообщении #1150562 писал(а):

не ссылаясь на (пусть и самые простые) утверждения теории меры?

[ivvan]

ievlev.pn в сообщении #1150558 писал(а):

Да, "сумма длин интервалов равна четырём, а не бесконечности" -- аргумент хороший, но мне до сих пор не очевидно, как из него следует, что искомые точки существуют.

Можно рассмотреть диаметры множеств.

[arseniiv]

ievlev.pn
Можно и без теории меры — точнее, конкретизировать все нужные определения и теоремы под наш случай, т. к. объединение семейства интервалов можно представить как объединение семейства попарно непересекающихся интервалов (если считать интервалом и всю прямую).

ivvan в сообщении #1150578 писал(а):

Можно рассмотреть диаметры множеств.

Нельзя, они могут быть сколь угодно большими для частичных объединений, а для полного диаметр будет бесконечным, как и у $\mathbb R$.

[Someone]

ievlev.pn в сообщении #1150555 писал(а):

$$ \displaystyle \varnothing \neq \left( \bigcap\limits_{k = 0}^{\infty} (-\infty; \; -2^{-k} + r_k ] \right) \cup \left( \bigcap\limits_{k = 0}^{\infty} [2^{-k} + r_k, \; +\infty) \right) $$

Это неверно. Оба пересечения здесь пустые, так как среди рациональных чисел есть сколь угодно большие по модулю, причём, как положительные, так и отрицательные.