Чудесное доказательство

[lasta]

shwedka в сообщении #1150624 писал(а):

Повторите 'доказательство', чтобы было видно, что новый куб будет составным.

После первого шага спуска, мы получаем равенство $(N^3_2=t^3+N_3^3)$ Откуда, согласно свойства суммы кубов $(t^3+N_3^3)$ , куб $(N^3_2)$, будет составным.

[ishhan]

lasta в сообщении #1150588 писал(а):

Любая сумма кубов $(a^3+b^3)$, - составное число и не может быть кубом, так как тогда это составное число можно представить тождеством

$$c^3=N_1^3N_2^3=N_1^3t^3+N_1^3(N_2^3-t^3); \qquad 1\leqslant t^3 \leqslant (N_2-1)^3 \qquad \e(1)$$

Уважаемый lasta!
Это только один из множества способов представления составного куба.
На основе этого "линейного" способа вы делаете слишком далеко идущие выводы.
В этом способе используется тривиальное алгебраическое выражение вида: $A^3=A^3+B^3-B^3$, в котором присутствуют три куба (правда два из трёх в сумме дают ноль)
Пардон, но тождеством называть такие формУлы у меня язык бы не повернулся)
Формулы я тоже люблю и не только алгебраические , но и словесные.
Неужели поля были настолько узки, что бы у Ферма не хватило места для описания тождества (1).
Хотя , чем чёрт не шутит... но мне, к сожалению, пока не удаётся достичь Вашего понимания ВТФ3.

[lasta]

ishhan в сообщении #1150632 писал(а):

В этом способе используется тривиальное алгебраическое выражение вида: $A^3=A^3+B^3-B^3$, в котором присутствуют три куба (правда два из трёх в сумме дают ноль)

Уважаемый ishhan, в тождестве (1) два не сокращающихся числа $(N_1^3t^3)$ и $ N_1^3(N_2^3-T^3)$. И в числовом примере для кубов, где один из кубов имеет иррациональное основание (со всеми натуральными числами примера не существует) показаны эти числа. Поэтому необходимо рассматривать тождество так, как это производится в доказательстве. Абель вывел свои формулы также с использованием тождества, в котором Вы также бы все посокращали и утверждали бы, что Абель не прав.

[shwedka]

Не надо спешить.

Без бросания в стороны, приведите полное и подробное, без ссылок на предыдущие фрагменты, доказательство
Вашего утверждения
:
Если имеется представление куба составного числа в виде суммы кубов,
то имеется представление и куба некоторого меньшего составного числа в виде суммы кубов.

доказательство полное, с начала и до конца.

[venco]

lasta в сообщении #1150626 писал(а):

После первого шага спуска, мы получаем равенство $(N^3_2=t^3+N_3^3)$ Откуда, согласно свойства суммы кубов $(t^3+N_3^3)$ , куб $(N^3_2)$, будет составным.

Он будет составным, но не доказано, что будет делитель куб.

[lasta]

Уважаемые shwedka и venco!
Произвольный составной куб можно представить тождеством

$$c^3=N_1^3N_2^3=N_1^3t^3+N_1^3(N_2^3-t^3) \qquad \e(1)$$

Со всеми возможными значениями текущей степени $(t^3)$.
Выражение $(N_2^3-t^3)$ не может быть кубом, так как существовал бы другой составной куб $N_2^3=t^3+N_3 ^3$, меньший исходного $N_2^3<N_1^3N_2^3$.
И этот куб снова можно было бы представить тождеством

$$N_2^3=N_4^3N_5^3=N_4^3t^3+N_4^3(N_5^3-t^3); $$

Где снова выражение $N_4^3(N_5^3-t^3)$ не может быть кубом, ( кубы $(N_4^3t^3;\quad N_4^3(N_5^3-t^3))$ имели бы общий делитель $(N_4^3)$), так как существовал бы третий составной куб, меньший второго и со всеми его свойствами. И так до бесконечности. Таким образом, для произвольно выбранного исходного составного куба мы перебрали бы бесконечное число убывающих составных кубов, ни один из которых не разлагался бы в сумму двух других кубов. Но не существует бесконечности для целого числа. Значит не существует составного куба, который равнялся бы сумме двух кубов.
Следует особо обратить внимание, что каждый новый куб сохраняет все свойства предыдущего куба. В том числе и то, что куб не может быть представлен суммой двух других кубов.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150674 писал(а):

Произвольный составной куб можно представить тождеством

$$c^3=N_1^3N_2^3=N_1^3t^3+N_1^3(N_2^3-t^3) \qquad \e(1)$$

Со всеми возможными значениями текущей степени $(t^3)$.
Выражение $(N_2^3-t^3)$ не может быть кубом, так как существовал бы другой составной куб $N_2^3=t^3+N_3 ^3$, меньший исходного $N_2^3<N_1^3N_2^3$.

Но Вы не доказали, что этот куб составной. Почему $N_2$ не может быть простым числом?

Начните заново, без спешки. Пишите полностью,в логическом порядке.

-- Пн сен 12, 2016 07:29:49 --

Цитата:

И так до бесконечности.

не получается. потому что, рано или поздно, вы придете к простому числу, и ВАш процесс остановится.

-- Пн сен 12, 2016 07:55:55 --

И еще, вдогонку. Вы можете сделать шаг в 'бесконечном спуске', если имеется разложение (1), то есть, разложение куба на невзаимнопростые слагаемые. Однако, ничего не сказано о том, как идет 'спуск', если на каком-то шаге Вы придете к разложению куба на взаимно простые слагаемые. Или даже с самого начала разложение имеется на взаимно простые слагаемые. Иными словами, Ваша формула (1) не обязательно охватывает все возможные разложения. По крайней мере, ничего по этому поводу не доказано.

[lasta]

shwedka в сообщении #1150683 писал(а):

Начните заново, без спешки. Пишите полностью,в логическом порядке.

Уважаемая shwedka!
Я постарался учесть Ваши предложения и ответить на поставленные вопросы.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$
Составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t^3+ N_1^3( N_2^3-t^3), $$

где $(1<t<N_2)$ - целое число. Сократим общий делитель. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t^3+ ( N_2^3-t^3 ),\qquad \e (1) $$

которое, в связи с произвольностью составного куба охватывает все возможные случаи для целых чисел $(N_2,t)$.
Можем утверждать, что правая часть (1) не может быть суммой двух кубов. Так как в этом случае разность кубов $(N_2^3-t^3) $ была бы кубом.
И мы могли бы записать $N_2^3-t^3=N_3^3$, или $N_2^3=t^3+N_3^3$ и $N_2^3$ был бы составным кубом, так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Для этого составного куба имели бы новое тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t^3+ N_4^3( N_5^3-t^3 ) ,$$

где текущий куб $1<t^3<N_5^3$. Снова, сократив общий делитель, получили бы новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t^3+ ( N_5^3-t^3 )\qquad \e (2) $$

И мы снова могли бы утверждать, что правая часть (2) не может быть суммой двух кубов, так как в противном случае, разность кубов $( N_5^3-t^3)$ была бы кубом $( N_5^3-t^3=N_6^3)$ И мы бы имели третий составной куб $( N_5^3=t^3+N_6^3)$, так как он также равнялся бы сумме двух кубов.
Как видим, тождество (2) имело бы все свойства тождества (1)
Точно таким же образом, мы создали бы третье, четвертое тождества и так до бесконечности. И всегда бы утверждали, что правая часть тождества не может быть суммой кубов, так как тогда бы существовало следующее тождество со всеми свойствами предыдущего. Получилось бы бесконечное количество кубов меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Как видим, в этом методе бесконечного спуска существования нового составного куба доказывается только на основании свойства суммы кубов, поэтому при спуске мы, никогда не вышли бы на не составной куб.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150836 писал(а):

Составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t^3+ N_1^3( N_2^3-t^3), $$

где $(1<t<N_2)$ - целое число. Сократим общий делитель.

И теперь ВАм нужно доказать, что невозможно равенство (исправлено!)

$$N_1^3N_2^3 =b^3+a^3$$

где $b^3$ не равно $N_1^3 t^3$, $a^3$ не равно $N_1^3( N_2^3-t^3)E$.
Вы почему-то эту возможность отбрасываете, не аргументируя.

[lasta]

shwedka в сообщении #1150840 писал(а):

И теперь ВАм нужно доказать, что невозможно равенство

Уважаемая shwedka!
Если Вы имеете ввиду, почему бесконечный спуск не распространяется на квадраты. То это очень просто. Равенства по уравнению Пифагора не имеют одинаковых свойств. То есть в сумму квадратов может разлагаться как составной квадрат, так и квадрат простого числа. Поэтому, начав спуск с составного квадрата, мы обязательно пришли бы к квадрату простого числа и спуск прекратился бы.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150861 писал(а):

Если Вы имеете ввиду, почему бесконечный спуск не распространяется на квадрат

Нет, ничего подобного. там опечатка.
Я имею в виду в точности,

shwedka в сообщении #1150840 писал(а):

И теперь ВАм нужно доказать, что невозможно равенство

$$N_1^3N_2^3 =b^3+a^3$$

где $b^3$ не равно $N_1^3 t^3$, $a^3$ не равно $N_1^3( N_2^3-t^3)$

[lasta]

lasta в сообщении #1150836 писал(а):

где $(1<t<N_2)$ - целое число. Сократим общий делитель. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t^3+ ( N_2^3-t^3 ),\qquad \e (1) $$

которое, в связи с произвольностью составного куба охватывает все возможные случаи для целых чисел $(N_2,t)$.

Делитель $N_1^3$ также произвольный. Поэтому этот случай

shwedka в сообщении #1150840 писал(а):

где $b^3$ не равно $N_1^3 t^3$, $a^3$ не равно $N_1^3( N_2^3-t^3)$

исключается. А после сокращения общего делителя мы имеем с тождеством (1) в взаимно простых числах, где, в связи с произвольностью чисел $ (N_2, \quad t)$, возможна любая их комбинация.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150871 писал(а):

Делитель $N_1^3$ также произвольный. Поэтому этот случай shwedka в сообщении #1150840

писал(а):
где $b^3$ не равно $N_1^3 t^3$, $a^3$ не равно $N_1^3( N_2^3-t^3)$
исключается. А после сокращения общего делителя мы имеем с тождеством (1) в взаимно простых числах

Почему этот случай исключается?
a.потому, что он никогда не может встретиться (докажите)?
б.потому, что Вы не знаете, что в этом случае делать?


А после сокращения общего делителя мы имеем с тождеством (1) в взаимно простых числах

Не сочтите за труд, напишите это тождество во взаимно простых числах!

Именно этот случай меня интересует. И никакой другой.

Именно, когда с самого начала числа взаимно простые. Так что и сокращать нечего.

[lasta]

shwedka в сообщении #1150874 писал(а):

Почему этот случай исключается?
a.потому, что он никогда не может встретиться (докажите)?

Уважаемая shwedka!
Доказываю. Любое равенство, имеющее общий делитель, после сокращения делителя превращается в равенство в взаимно простых числах. Наоборот, любое равенство в взаимно простых числах после умножения всех слагаемых на произвольное число превращается в равенство с общим делителем.
Пусть мы имеем произвольное равенство в взаимно простых числах

$$N_2^3=a^3+b^3 \qquad \e (1.1)$$

Умножим все слагаемые на произвольное число $N_1^3$. Получим $N_1^3N_2^3=N_1^3a^3+N_1^3b^3$. Слева произвольный составной куб, справа сумма кубов с общим делителем.
При этом (1.1) учитывает любые сочетания кубов. Положив $a^3=t^3$, получим $b^3=N_2^3-t^3$. Откуда следует наше тождество

$$N_2^3=t^3+(N_2^3-t^3)$$

в взаимно простых числах.

shwedka в сообщении #1150874 писал(а):

Не сочтите за труд, напишите это тождество во взаимно простых числах!
Именно этот случай меня интересует. И никакой другой.
Именно, когда с самого начала числа взаимно простые. Так что и сокращать нечего.

Мы доказываем утверждение, что любой составной куб не может быть представлен суммой двух других кубов. И в используемом методе бесконечного спуска всегда имеем дело с составными кубами. Поэтому, чтобы получать тождества в взаимно простых числах необходимо сначала составить тождество для этого составного куба, где слагаемые имеют общий делитель, а затем всегда сокращать общий делитель.
Поэтому с самого начала мы имеем произвольный составной куб. При этом , не используя формулы разложения суммы кубов, мы только расширяем область существования этого произвольного куба.

[shwedka]

lasta в сообщении #1150893 писал(а):

Мы доказываем утверждение, что любой составной куб не может быть представлен суммой двух других кубов.

Неверно.
На каждом шаге предолагается, что разложение происходит на невзаимнопростые числа.
Если числа взаимно простые, то следующий шаг, согласно только что написанному, есть умножение,
то есть, не спуск, а подъем.

lasta в сообщении #1150893 писал(а):

Пусть мы имеем произвольное равенство в взаимно простых числах

$$N_2^3=a^3+b^3 \qquad \e (1.1)$$

Умножим все слагаемые на произвольное число $N_1^3$. Получим $N_1^3N_2^3=N_1^3a^3+N_1^3b^3$. Слева произвольный составной куб, справа сумма кубов с общим делителем.
При этом (1.1) учитывает любые сочетания кубов. Положив $a^3=t^3$, получим $b^3=N_2^3-t^3$. Откуда следует наше тождество

$$N_2^3=t^3+(N_2^3-t^3)$$

в взаимно простых числах.

Таким образом, вы получили то же равенство Ферма, с которого начали, то есть спуска нет.