Градиент скалярной функции

[mihaild]

Неправильно, конечно - вы ни в какой момент нигде не использовали конкретное направление $\vec{l}$. И в самом начале вы берете предел по $h$ от функции, от $h$ не зависящей.

Fass в сообщении #1150238 писал(а):

Но не понятно почему $\vec l$ единственный

Потому что есть условие не только на направление, но и на норму (норма равна производной по направлению градиента).

[Fass]

mihaild в сообщении #1150239 писал(а):

Потому что есть условие не только на направление, но и на норму (норма равна производной по направлению градиента).

Норма $\vec{l}$?

Цитата:

Градиент скалярной функции $\varphi$ в некоторой точке $P$ представляет собой вектор...Модуль этого вектора равен значению $\frac{d\varphi}{dl}$ в точке $P$.

Т.е. модуль вектора градиента равен значению $\frac{d\varphi}{dl}$, а не модуль $\vec{l}$. А у вектора градиента и $\vec{l}$ общее только направление. Я так это понял. Ведь иначе почему бы просто не сказать сразу, что $\nabla \frac{d\varphi}{dl}=\vec{l}$, если модуль $\vec{l}=\frac{d\varphi}{dl}$

Если все же это не так, то походу совсем не понимаю тут. Но в любом случае спасибо всем за помощь

[mihaild]

Если $\vec{l}$ - это произвольный вектор по направлению градиента - то да, он не единственен. У Munin, видимо, $\vec{l}$ сразу вектором градиента был.

Fass в сообщении #1150251 писал(а):

$\nabla \frac{d\varphi}{dl}=\vec{l}$

А тут вы берете градиент от производной по направлению - непонятно зачем.

В расписывании производной по направлению у вас ошибка в раскрытии $\|\vec{r} + h\vec{l}\|^2$. Там обязательно должно где-то использоваться направление $\vec{l}$, а не только его норма.

[Fass]

mihaild в сообщении #1150281 писал(а):

А тут вы берете градиент от производной по направлению - непонятно зачем.

Это я ошибся пока набирал. Имел в виду, что $\vec l$ равен градиенту функции.

Вот исходя из самого первого вашего сообщения про норму суммы векторов. Вы имели в виду, что она максимальна если вектора сонаправлены?
Тогда можно сказать, что если $\vec l$ направлен в сторону максимального роста функции, то $\vec {e_l} = \vec{e_r}$, а производная по направлению $\vec l$ равна производной по $\vec r$, т.е. $\frac{dr}{dl}=\frac{dr}{dr}=1$?

[mihaild]

Fass в сообщении #1150286 писал(а):

Вы имели в виду, что она максимальна если вектора сонаправлены?

Я имел в виду, что из написанного мной надо найти направление, в котором норма максимальна.

Если оно совпадает с $\vec{r}$, то ваши дальнейшие рассуждения верны.

[Fass]

Тяжеловато до меня доходило. Но зато разобрался более менее. Спасибо большое.

[Munin]

mihaild в сообщении #1150281 писал(а):

У Munin, видимо, $\vec{l}$ сразу вектором градиента был.

[Ruben]

Fass в сообщении #1150286 писал(а):

Имел в виду, что $\vec l$ равен градиенту функции.

Какого лешего ? Вообще, забудьте про $\vec l$ -- как такового $\vec l$ "нету" (точнее, его незачем вводить). Есть множество кривых $l$, вдоль которых можно перемещаться. Среди них есть такая $l'$, что $\frac{d\varphi}{dl'}$ имеет максимальное значение. Если описывать кривую радиусом вектором $\vec r$, то для любой $l$ будет $dl$ = |$d\vec r$| = $dr$. Градиент функции $\varphi$ - это вектор, по модулю равный $\frac{d\varphi}{dl'}$ (на выделенной кривой), а по направлению совпадающий с направлением касательной к кривой $l'$, или, что то же самое, коллинеарный вектору $d\vec r$ вдоль кривой $l'$. То есть, $\nabla \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial l'} \vec{e_r} = \frac{d\varphi}{d r} \cdot \frac{d\vec r}{dr} $. Между прочим, умножая последнее скалярно на $d\vec r$, получим известную формулу:

$$ d\varphi = \nabla \varphi \cdot d\vec r $$

A $\vec l$ как, например, $x \vec i $ - что-то неопределенное и может быть действительно произвольным.

[Munin]

Кривыми-то зачем пугать?

[Ruben]

А так можно ввести сразу линии уровня и понятие скалярного поля на примере $\varphi$, а не топтаться в одной точке.


Вынужден предупредить ТС-а, что описанное выше годится лишь для его случая - когда скалярное поле центрально-симметричное (т.е. $\varphi$ зависит лишь от $r$).

В общем случае нужно вводить какую-то систему координат. Наверное...
Например, для полярной (в цилиндрической аналогично) системы (это случай ТС-а):

$$\frac{d\varphi}{dl} = \frac{\partial \varphi}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial l} + \frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial l} = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial r} \vec{e_r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \vec{e_{\theta}} \right)\cdot \left(\frac{\partial r}{\partial l } \vec{e_r} + \frac{r\partial \theta}{\partial l } \vec{e_{\theta}} \right) $$

Первый множитель представляет собой вектор, который зависит только от $ \varphi$. Обозначим его как $\vec A (\varphi)$. Второй множитель - это, как раз орт $\vec {e_l}$, направленный по $l$ и разложенный по базису $\vec {e_{r}}$, $\vec {e_{\theta}}$. Тогда последнее выражение можно расписать как:

$$\frac{d\varphi}{dl} = \vec A (\varphi) \cdot \vec {e_l}$$

.

Т.к. вектор $\vec A$ не зависит от выбранного направления $l$, а длина орта $\vec {e_l}$ постоянная и тоже не зависит от $l$, следовательно, их произведение максимально тогда, когда эти векторы коллинеарны, и будет равно $|\vec A (\varphi)|$. Раз модуль вектора $ \vec A (\varphi)$ равен максимуму производной, а его направление совпадает с направлением, в котором производная максимальная, то по определению, вектор $ \vec A (\varphi)$ и есть градиент функции $\varphi$. То бишь

$$\vec{\nabla} \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial r} \vec{e_r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \vec{e_{\theta}} $$

У ТС-а поле центрально-симметричное, когда $\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} = 0$ и в этом частном случае

$$\vec{\nabla} \varphi =\frac{\partial \varphi}{\partial r} \vec{e_r} $$

и технически вся задача свелась лишь к дифференцированию $\varphi(r)$ по $r$.