Градиент скалярной функции

[Fass]

Решаю задачник Савельева и не могу решить одну задачу.
Помогите понять первый пункт. Второй я осилил, но первый не понимаю.

Градиент скалярной функции $\varphi$ в некоторой точке $P$ представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением $l$, вдоль которого функция $\varphi$, возрастая по величине, изменяется в точке $P$ с наибольшей скоростью. Модуль этого вектора равен значению $\frac{d\varphi}{dl}$ в точке $P$. Аналитически это можно записать следующим образом:
$\nabla \varphi = \frac{d\varphi}{dl}$$\vec{e_l}$
1. Исходя из этого определения, найти выражения для: а) $\nabla r$, б) $\nabla \frac 1 r$, в) $\nabla f(r)$, где $r$ — модуль радиус-вектора точки $P$.
2. Убедиться в том, что такие же выражения получаются с помощью формулы
$\nabla \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x} \vec{e_x} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \vec{e_y} + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \vec{e_z}$

В ответе: а) $\vec {e_r}$ б) $\frac 1 {x^2} \vec {e_r}$ в)$\frac {df}{dr} \vec{e_r}$ Мне бы только на примере а). Умом то я понимаю, то наибольший прирост по направлению будет, если $\vec r \parallel \vec l$ и будет равен нулю в направлении перпендикулярном $r$, но вывести аналитически не могу. Да и почему будет единичный вектор...

Пробовал так: $\nabla r = \frac {dr} {dl} \vec {e_l} = \frac {dr} {dl} \frac {\vec l}{l}=\frac {dr \, \vec l \vec r} {dl \, l r} \frac{r}{\vec r}$ И вот тут первая дробь должна быть равна единице
Еще была мысль как то использовать то, что $\vec e_l=\frac {\vec l}{l}$ Но дальше тупик.

[Metford]

Fass в сообщении #1150171 писал(а):

Пробовал так: $\nabla r = \frac {dr} {dl} \vec {e_l} = \frac {dr} {dl} \frac {\vec l}{l}=\frac {dr \, \vec l \vec r} {dl \, l r} \frac{r}{\vec r}$ И вот тут первая дробь должна быть равна единице

Вы, наверное, с вектором-то в знаменателе опечатались (надеюсь)... И потом, Вы хорошо понимаете, что такое производная по направлению?

[mihaild]

Давайте посмотрим на квадрат нормы $\vec{r} + \vec{a}$: $\|\vec{r} + \vec{a}\|^2 = \|\vec{r}\|^2 + \|\vec{a}\|^2 + 2(\vec{r}, \vec{a}) = \|\vec{r}\|^2 + \|\vec{a}\|^2 + 2\|\vec{r}\|\|\vec{a}\|\cdot \cos(\vec{r}, \vec{a})$. Считая $\vec{r}$ фиксированным, а $\|\vec{a}\|$ фиксированной бесконечно малой, максимизируйте последнее выражение.

[Fass]

Metford в сообщении #1150172 писал(а):

Fass в сообщении #1150171 писал(а):

Пробовал так: $\nabla r = \frac {dr} {dl} \vec {e_l} = \frac {dr} {dl} \frac {\vec l}{l}=\frac {dr \, \vec l \vec r} {dl \, l r} \frac{r}{\vec r}$ И вот тут первая дробь должна быть равна единице

Вы, наверное, с вектором-то в знаменателе опечатались (надеюсь)... И потом, Вы хорошо понимаете, что такое производная по направлению?

Вроде не ошибся =) Домножил и поделил на $\vec {e_r} = \frac {\vec r}{r}$. А насчет производной по направлению... даже не знаю. Ну вот $\frac{\partial f}{\partial x}$ - это же скорость изменения функции по ходу в направлении $x$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: а при чем тут физика?

[mihaild]

Fass в сообщении #1150176 писал(а):

Домножил и поделил на $\vec {e_r} = \frac {\vec r}{r}$.

С этого места поподробнее. Как именно вы умножаете, и особенно делите, на вектор?

[Metford]

Fass в сообщении #1150176 писал(а):

Домножил и поделил на $\vec {e_r} = \frac {\vec r}{r}$

Поделил, значит... Не определено для векторов деление! Много чего определено, а деление - нет. Так что такой путь отметаем сразу.
Смысл производной по направлению Вы передали, а как она устроена формально?

(Оффтоп)

Pphantom
Потому что из задачника Савельева

[Fass]

mihaild в сообщении #1150179 писал(а):

Fass в сообщении #1150176 писал(а):

Домножил и поделил на $\vec {e_r} = \frac {\vec r}{r}$.

С этого места поподробнее. Как именно вы умножаете, и особенно делите, на вектор?

Понятно. На вектора делить не умею, если это можно все же. По-крайней мере с этим ходом решения понятно где неправильно.

[Metford]

Fass
Если Вы вообще в первый раз встретились с градиентом и производной по направлению, то имеет смысл узнать о них не из условия задачи в задачнике по физике, а в книге Фихтенгольца, например (Курс дифференциального и интегрального исчисления, первый том). А предварительно поправить положение дел с обычной векторной алгеброй. Потому что такое непосредственно-простое обращение с векторам несколько озадачивает.

[Fass]

Metford в сообщении #1150181 писал(а):

Смысл производной по направлению Вы передали, а как она устроена формально?

Ну я вот как раз в теории(у меня Зорич) порылся и понял, что это градиент функции. Наверное.

[Lia]

Fass

Fass в сообщении #1150190 писал(а):

Ну я вот как раз в теории(у меня Зорич) порылся и понял, что это градиент функции. Наверное.

Идем роемся еще раз, иначе тема уедет в Карантин до просветления.

Для выборочного цитирования нужно выделить требуемый фрагмент и использовать кнопку "Вставка".

[Metford]

Fass в сообщении #1150190 писал(а):

Ну я вот как раз в теории(у меня Зорич) порылся и понял, что это градиент функции. Наверное.

Градиент и производная по направлению - это вещи связанные, но всё-таки разные.
А вот то, что mihaild спросил, Вы поняли? И почему вопрос именно такой был задан? (Пока всё в Карантин не уехало...)

[Fass]

Metford в сообщении #1150192 писал(а):

Fass в сообщении #1150190 писал(а):

Ну я вот как раз в теории(у меня Зорич) порылся и понял, что это градиент функции. Наверное.

Градиент и производная по направлению - это вещи связанные, но всё-таки разные.
А вот то, что mihaild спросил, Вы поняли? И почему вопрос именно такой был задан? (Пока всё в Карантин не уехало...)

Производная по направлению это скалярное произведение градиента на орт направления. Я пока еще подумаю, и про квадрат нормы тоже.

[Munin]

Fass в сообщении #1150171 писал(а):

Умом то я понимаю, то наибольший прирост по направлению будет, если $\vec r \parallel \vec l$ и будет равен нулю в направлении перпендикулярном $r$, но вывести аналитически не могу.

Вам не нужно думать, что $\vec{l}$ может быть много разных. Нет, $\vec{l}$ один-единственный (в каждой отдельной заданной точке пространства). Вот его вам и надо найти.

[Fass]

В общем я вот к чему пришел.

Мне кажется, что расписывать производную по направлению через её связь с градиентом - это по сути делать задание второго пункта.
И вот попробовал наверное все таки через её определение и квадрат нормы.

$\lim\limits_{h\to 0}^{} \frac {dr}{dl} = \lim\limits_{h\to 0}^{} \frac {{\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert} - \left\lVert \vec r \right\rVert}{h} = \lim\limits_{h\to 0}^{} \frac {{(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert - \left\lVert \vec r \right\rVert})*(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert + \left\lVert \vec r \right\rVert)}{h*(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert + \left\lVert \vec r \right\rVert)} = \lim\limits_{h\to 0}^{} \frac {({\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert})^2 - (\left\lVert \vec r \right\rVert)^2}{h*(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert + \left\lVert \vec r \right\rVert)}} = \lim\limits_{h\to 0}^{} \frac {{\left\lVert \vec r \right\rVert^2+ 2\left\lVert \vec r \right\rVert \left\lVert h\vec l \right\rVert + \left\lVert h\vec l \right\rVert^2} - \left\lVert \vec r \right\rVert^2}{h*(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert + \left\lVert \vec r \right\rVert)}} = \lim\limits_{h\to 0}^{} \frac { 2h\left\lVert \vec r \right\rVert \left\lVert \vec l \right\rVert + h^2\left\lVert \vec l \right\rVert^2}{h*(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert + \left\lVert \vec r \right\rVert)}} = \lim\limits_{h\to 0}^{} \frac { 2\left\lVert \vec r \right\rVert \left\lVert \vec l \right\rVert + h\left\lVert \vec l \right\rVert^2}{(\left\lVert \vec r + h\vec l \right\rVert + \left\lVert \vec r \right\rVert)}} = \frac { 2\left\lVert \vec r \right\rVert \left\lVert \vec l \right\rVert}{2 \left\lVert \vec r \right\rVert} = \left\lVert \vec l \right\rVert$

И тогда $\nabla \varphi = \left\lVert \vec l \right\rVert \vec {e_l} = \vec l$

И тогда либо я что-то сделал неправильно, либо $\vec l$ и есть мой $\vec {e_r}$

Munin в сообщении #1150196 писал(а):

Вам не нужно думать, что $\vec{l}$ может быть много разных. Нет, $\vec{l}$ один-единственный (в каждой отдельной заданной точке пространства). Вот его вам и надо найти.

Но не понятно почему $\vec l$ единственный, если по условию задачи здесь могут быть много векторов разной длинны, главное лишь бы они были сонаправленны