А так можно ввести сразу линии уровня и понятие скалярного поля на примере

, а не топтаться в одной точке.
Вынужден предупредить ТС-а, что описанное выше годится лишь для его случая - когда скалярное поле центрально-симметричное (т.е.

зависит лишь от

).
В общем случае нужно вводить какую-то систему координат. Наверное...
Например, для полярной (в цилиндрической аналогично) системы (это случай ТС-а):

Первый множитель представляет собой вектор, который зависит только от

. Обозначим его как

. Второй множитель - это, как раз орт

, направленный по

и разложенный по базису

,

. Тогда последнее выражение можно расписать как:

.
Т.к. вектор

не зависит от выбранного направления

, а длина орта

постоянная и тоже не зависит от

, следовательно, их произведение максимально тогда, когда эти векторы коллинеарны, и будет равно

. Раз модуль вектора

равен максимуму производной, а его направление совпадает с направлением, в котором производная максимальная, то по определению, вектор

и есть градиент функции

. То бишь

У ТС-а поле центрально-симметричное, когда

и в этом частном случае

и технически вся задача свелась лишь к дифференцированию

по

.