Уважаемы софорумники, хочу предложить вашему вниманию свои рассуждения по вычислению угла между стороной треугольника и медианой к этой стороне.
Рассмотрим произвольный треугольник со стандартными обозначениями. Против стороны
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
лежит угол
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
, против
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
- угол
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
, против
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- угол
Медиана к стороне
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
вычисляется по формуле:
![$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$ $m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/5/a650a63cc5ae5abbc92af5740fc2306182.png)
Достроем треугольник до параллелограмма со сторонам
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. Сторона
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
и
![$2m_c$ $2m_c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/f/4bf23eca90496997fcdd4097ca4f5bad82.png)
будут диагоналями этого параллелограмма
Выразим площадь параллеллограмма двумя способами.
![$ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12d_1d_2\sin\sigma$ $ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12d_1d_2\sin\sigma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/3/7a3ebb6bba6d5c0f4b3638779ab6a5a382.png)
, где
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
- угол между диагоналями, или между медианой
![$m_c$ $m_c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/7/8d73f96568a3ec4a73e6d58d2197bbf982.png)
и стороной
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
.
![$ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12(2m_c)c\sin\sigma$ $ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12(2m_c)c\sin\sigma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/7/3b7d8801962282ff04f54d9e91f1782a82.png)
![$ab\sin(\alpha+\beta)=m_cc\sin\sigma$ $ab\sin(\alpha+\beta)=m_cc\sin\sigma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/0/1b02ea914ebd9ebbcd3a047db8e125b782.png)
Соответсвенно:
![$\sin\sigma=\frac{ab}{m_cc}\sin(\alpha+\beta)$ $\sin\sigma=\frac{ab}{m_cc}\sin(\alpha+\beta)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/b/a7be995f8d52198c9575f719eebdf8df82.png)
Теперь используем теорему синусов:
![$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$ $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/e/ade0da1561a34487c64106de0f03330a82.png)
Выразим все через сторону
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
и прилежащие углы
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
и
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
.
![$a=c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$ $a=c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d237199b53599d04357cab9aaa8486e82.png)
,
![$b=c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$ $b=c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/7/3d7f6216415ade7666a88aa4ff84432682.png)
Когда подставим, получим:
![$\sin\sigma=\frac{c}{m_c}\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$ $\sin\sigma=\frac{c}{m_c}\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/1/351bf274073a394bef4f083cd307df6882.png)
Выразим медиану
![$m_c $ $m_c $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/2/ab25fe9bff38444e1602254194378c1c82.png)
через сторону
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
и прилежащие углы
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
и
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
.
![$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac12\sqrt{2(c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)})^2+2(c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)})^2-c^2}$ $m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac12\sqrt{2(c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)})^2+2(c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)})^2-c^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/1/1713821e8686ee9e2bf312d473d944ff82.png)
![$m_c=\frac{c}{2\sin(\alpha+\beta)}\sqrt{2(\sin\alpha)^2+2(\sin\beta)^2-(\sin(\alpha+\beta))^2}$ $m_c=\frac{c}{2\sin(\alpha+\beta)}\sqrt{2(\sin\alpha)^2+2(\sin\beta)^2-(\sin(\alpha+\beta))^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/1/441964c5f3052cd59fb9c8851802dd4a82.png)
Подставляем в формулу вместо
![$m_c$ $m_c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/7/8d73f96568a3ec4a73e6d58d2197bbf982.png)
и в итоге получаем:
Вывод: угол между стороной треугольника и медианой к этой стороне зависит только от прилежащих углов к данной стороне.