2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Угол между медианой и стороной треугольника
Сообщение09.09.2016, 13:54 


29/07/08
536
Уважаемы софорумники, хочу предложить вашему вниманию свои рассуждения по вычислению угла между стороной треугольника и медианой к этой стороне.

Рассмотрим произвольный треугольник со стандартными обозначениями. Против стороны $a$ лежит угол $\alpha$, против $b$ - угол $\beta$, против $c$ - угол $\gamma=180^0-(\alpha+\beta)$
Медиана к стороне $c$ вычисляется по формуле:

$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Достроем треугольник до параллелограмма со сторонам $a$ и $b$. Сторона $c$ и $2m_c$ будут диагоналями этого параллелограмма
Выразим площадь параллеллограмма двумя способами.

$ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12d_1d_2\sin\sigma$, где $\sigma$ - угол между диагоналями, или между медианой $m_c$ и стороной $c$.

$ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12(2m_c)c\sin\sigma$

$ab\sin(\alpha+\beta)=m_cc\sin\sigma$

Соответсвенно: $\sin\sigma=\frac{ab}{m_cc}\sin(\alpha+\beta)$

Теперь используем теорему синусов: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

Выразим все через сторону $c$ и прилежащие углы $\alpha$ и $\beta$.

$a=c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$, $b=c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

Когда подставим, получим:

$\sin\sigma=\frac{c}{m_c}\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

Выразим медиану $m_c $через сторону $c$ и прилежащие углы $\alpha$ и $\beta$.

$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac12\sqrt{2(c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)})^2+2(c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)})^2-c^2}$

$m_c=\frac{c}{2\sin(\alpha+\beta)}\sqrt{2(\sin\alpha)^2+2(\sin\beta)^2-(\sin(\alpha+\beta))^2}$

Подставляем в формулу вместо $m_c$ и в итоге получаем:

$\sin\sigma=\frac{2\sin\alpha\sin\beta}{\sqrt{2(\sin\alpha)^2+2(\sin\beta)^2-(\sin(\alpha+\beta))^2}}$

Вывод: угол между стороной треугольника и медианой к этой стороне зависит только от прилежащих углов к данной стороне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между медианой и стороной треугольника
Сообщение09.09.2016, 14:06 


05/09/16
11461
Побережный Александр в сообщении #1150283 писал(а):
Вывод: угол между стороной треугольника и медианой к этой стороне зависит только от прилежащих углов к данной стороне.

Глубокомысленно :) А все потому, что сумма углов треугольника не зависит от длин его сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между медианой и стороной треугольника
Сообщение09.09.2016, 14:10 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
wrest :D

Побережный Александр
Вывод правильный. Его можно подтвердить таким рассуждением. Пусть известны углы $\alpha, \beta$ и сторона $c$. Тогда треугольник определяется однозначно, и угол $\sigma$ тоже. Но ясно, что $c$ в формулу для $\sigma$ на самом деле не входит:увеличим всю фигуру в $k$ раз; $c$ изменится, а все углы сохранятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между медианой и стороной треугольника
Сообщение09.09.2016, 14:17 


05/09/16
11461
Побережный Александр
Любые соответствующие углы у подобных треугольников равны.
Поэтому любые углы в треугольниках определяются двумя его углами (например третий угол находим вычитая сумму двух других из 180)
То есть не только угол между медианой и стороной определяется двумя прилежащими к этой стороне углами, но и углы между медианами и другими сторонами, и все прочие углы -- тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между медианой и стороной треугольника
Сообщение09.09.2016, 14:54 


29/07/08
536
svv в сообщении #1150288 писал(а):
wrest :D

Побережный Александр
Вывод правильный. Его можно подтвердить таким рассуждением. Пусть известны углы $\alpha, \beta$ и сторона $c$. Тогда треугольник определяется однозначно, и угол $\sigma$ тоже. Но ясно, что $c$ в формулу для $\sigma$ на самом деле не входит:увеличим всю фигуру в $k$ раз; $c$ изменится, а все углы сохранятся.


Но ведь я еще указал КАК зависит. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между медианой и стороной треугольника
Сообщение09.09.2016, 15:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Конечно, Вы молодец. :D Cами ставите задачи, экспериментируете, доводите решение до конца.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group