Угол между медианой и стороной треугольника

[Побережный Александр]

Уважаемы софорумники, хочу предложить вашему вниманию свои рассуждения по вычислению угла между стороной треугольника и медианой к этой стороне.

Рассмотрим произвольный треугольник со стандартными обозначениями. Против стороны $a$ лежит угол $\alpha$, против $b$ - угол $\beta$, против $c$ - угол $\gamma=180^0-(\alpha+\beta)$
Медиана к стороне $c$ вычисляется по формуле:

$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Достроем треугольник до параллелограмма со сторонам $a$ и $b$. Сторона $c$ и $2m_c$ будут диагоналями этого параллелограмма
Выразим площадь параллеллограмма двумя способами.

$ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12d_1d_2\sin\sigma$, где $\sigma$ - угол между диагоналями, или между медианой $m_c$ и стороной $c$.

$ab\sin(\alpha+\beta)=\frac12(2m_c)c\sin\sigma$

$ab\sin(\alpha+\beta)=m_cc\sin\sigma$

Соответсвенно: $\sin\sigma=\frac{ab}{m_cc}\sin(\alpha+\beta)$

Теперь используем теорему синусов: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

Выразим все через сторону $c$ и прилежащие углы $\alpha$ и $\beta$.

$a=c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$, $b=c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

Когда подставим, получим:

$\sin\sigma=\frac{c}{m_c}\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

Выразим медиану $m_c $через сторону $c$ и прилежащие углы $\alpha$ и $\beta$.

$m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac12\sqrt{2(c\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)})^2+2(c\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)})^2-c^2}$

$m_c=\frac{c}{2\sin(\alpha+\beta)}\sqrt{2(\sin\alpha)^2+2(\sin\beta)^2-(\sin(\alpha+\beta))^2}$

Подставляем в формулу вместо $m_c$ и в итоге получаем:

$\sin\sigma=\frac{2\sin\alpha\sin\beta}{\sqrt{2(\sin\alpha)^2+2(\sin\beta)^2-(\sin(\alpha+\beta))^2}}$

Вывод: угол между стороной треугольника и медианой к этой стороне зависит только от прилежащих углов к данной стороне.

[wrest]

Побережный Александр в сообщении #1150283 писал(а):

Вывод: угол между стороной треугольника и медианой к этой стороне зависит только от прилежащих углов к данной стороне.

Глубокомысленно :) А все потому, что сумма углов треугольника не зависит от длин его сторон.

[svv]

wrest

Побережный Александр
Вывод правильный. Его можно подтвердить таким рассуждением. Пусть известны углы $\alpha, \beta$ и сторона $c$. Тогда треугольник определяется однозначно, и угол $\sigma$ тоже. Но ясно, что $c$ в формулу для $\sigma$ на самом деле не входит:увеличим всю фигуру в $k$ раз; $c$ изменится, а все углы сохранятся.

[wrest]

Побережный Александр
Любые соответствующие углы у подобных треугольников равны.
Поэтому любые углы в треугольниках определяются двумя его углами (например третий угол находим вычитая сумму двух других из 180)
То есть не только угол между медианой и стороной определяется двумя прилежащими к этой стороне углами, но и углы между медианами и другими сторонами, и все прочие углы -- тоже.

[Побережный Александр]

svv в сообщении #1150288 писал(а):

wrest

Побережный Александр
Вывод правильный. Его можно подтвердить таким рассуждением. Пусть известны углы $\alpha, \beta$ и сторона $c$. Тогда треугольник определяется однозначно, и угол $\sigma$ тоже. Но ясно, что $c$ в формулу для $\sigma$ на самом деле не входит:увеличим всю фигуру в $k$ раз; $c$ изменится, а все углы сохранятся.

Но ведь я еще указал КАК зависит.

[svv]

Конечно, Вы молодец. Cами ставите задачи, экспериментируете, доводите решение до конца.