Доказательства методами Ферма

[lasta]

Существуют два доказательства ФЕРМА для биквадратов. Одно - геометрическое с помощью прямоугольного треугольника, второе алгебраическое, но не полное.
В большинстве работ после ФЕРМА, приводятся алгебраические доказательства. Однако, геометрическое, больше соответствует методам Ферма. И оно совсем короткое.
«Если бы существовал прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством…..,» Вот собственно и все. Дальше бесконечный спуск
Почему существовал бы другой треугольник со свойствами заданного, ФЕРМА не поясняет, так как это очевидно для него. Попробуем восстановить этот пробел.
Заданный треугольник определяется сторонами $(2a^2, b^2, c)$. Тогда существует треугольник со сторонами $(a^2, b_1^2, c_1)$, так как для любого квадрата всегда найдутся два минимальных квадрата, таких, что их сумма будет равна третьему квадрату. То есть будет выполняться равенство

$$(a^2)^2+(b_1^2)^2=c_1^2,$$

где $(a,b_1)$ - числа разной четности, определяющие катеты треугольника.. Понятно также, что для квадрата $(2a^2)^2$ минимальные квадраты, разностью которых он является, будут больше, чем для квадрата $(a^2)^2$.
В силу изложенного, тогда существует третий треугольник, меньше второго и т. д. до бесконечности.
Понятно также, что площадь прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются целыми числами, вообще не может быть никакой степенью. Однако, очевидного доказательства для ВТФ из этого свойства для нас не видно. А для ФЕРМА? (продолжение следует)

[Lia]

lasta

lasta в сообщении #1146271 писал(а):

ФЕРМА

Если это не аббревиатура, не капслочьте, пожалуйста.

[lasta]

lasta в сообщении #1146271 писал(а):

Тогда существует треугольник со сторонами $(a^2, b_1^2, c_1)$

Это утверждение не верно. Так как Новый треугольник должен обладать теми же свойствами, что и предыдущий. То есть его стороны должны определять числа $(2a_1^2, b_1^2,C_1)$. И рассуждение должно быть таким.
Если существует квадрат $(2a^2)^2$, то должен существовать другой квадрат , меньше этого. Так как все четные квадраты имеют разность между собой, определяемую числом вида $(4k)$, а число $a^2>4$. Тогда для нового квадрата $(2a_1^2)^2$ существуют два минимальных квадрата, разность которых определяет этот квадрат.
Следует попутно отметить, что последовательность значений сторон новых треугольников в бесконечном спуске не определяется линейной рекуррентной последовательностью троек чисел, так как определяется не алгебраической операцией, а логическим выводом.

[lasta]

Алгебраическое доказательство Ферма, также основано на использовании прямоугольного треугольника. Предположительно оно было сделано для раскрытия его тезисного геометрического доказательства, только для современников. Можно предположить, что для самого Ферма метод спуска был очевиден в той,самой краткой форме, геометрического доказательства.
Этой темой я хотел найти минимум доказанных утверждений, чтобы бесконечный спуск для поставленной задачи был понятен. Но, пока мое утверждение, возможно, имеет увертки (термин Ферма).

[lasta]

Устраняем возможную увертку.
Итак, стороны заданного треугольника $(2a^2, b^2,c)$. Тогда нечетный катет и гипотенуза будут числами вида $(4k+1 ,\quad 4k\pm 1)$ Что не возможно , так как в этом случае разность $(c^2-b^4)$ , будет числом вида $(4k+2)4k $, и катет $(2a^2)$ определялся бы иррациональным числом. Следовательно, все стороны треугольника могут определяются только четными числами. Четным числом будет и площадь треугольника. Тогда, все стороны треугольника можно уменьшить в два раза. Площадь треугольника уменьшится в четыре раза. Значит также будет квадратом. И мы получили меньший прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются целыми числами, а площадь равна квадрату.

[lasta]

Доказательство пока не полное. Так как, если число вида $ (4k+2)4k$ рассмотреть в равенстве $(4k+2)4k=(4k+2)4k_1$, то необходимо доказать, что $k_1 =2^{2n} k_2 $, где $k_2$ - нечетное число, $n=0,1,2,3.....$

[lasta]

lasta в сообщении #1147169 писал(а):

Тогда нечетный катет и гипотенуза будут числами вида $(4k+1 ,\quad 4k\pm 1)$

В общем квадраты нечетных сторон прямоугольного треугольника определяются числами вида $(8k+1)$. Откуда сразу следует, что четный катет $(2a^2)$ имеет четное $(a)$ и в формулах индусов должны применяться только квадратные числа.
Тогда площадь треугольника определится формулой

$$S=1/2 (2a^2b^2)=m^2n^2(m^4-n^4)=m^2n^2(m^2+n^2)(m^2-n^2)=a^2b_1^2b^2_2;$$ $$\quad b=b_1b_2;\quad b_1^2=m^2+n^2; \quad b_2^2=m^2-n^2$$

Откуда и получаем меньший треугольник со всеми свойствами исходного, определяемый выражением

$$2n^2=b_1^2-b_2^2$$

Здесь необхолимо только применить доказанное утверждение Ферма, что если существует квадрат, составленный суммой удвоенного квадрата и другого квадрата, то основание такого квадрата также будет составлено подобной суммой, то есть определится снова удвоенным квадратом и другим квадратом.
Теперь понятно, что Пьер Ферма мог держать все эти выкладки в уме и утверждать доказательство тезисно. Если существует такой прямоугольный треугольник, то существует меньший с такими же свойствами.

[lasta]

Перейдем теперь к доказательству утверждения, что площадь прямоугольного треугольника со сторонами в целых взаимно простых числах $(2a^p,b^p,c)$ , не может быть вообще ни какой степенью.
Имеем треугольник со сторонами $(2a^p,b^p,c)$ Теперь числа для формул индусов должны быть степенями $2a^p=2m^pn^p; \quad b^p=m^{2p}-n^{2p};\quad c=m^{2p}+n^{2p}$. Площадь прямоугольного треугольника

$$S=1/2a^pb^p=m^pn^p(m^{2p}-n^{2p})=m^pn^p(m^p+n^p)(m^p-n^p)=a^pb_1^pb_2^p$$

$$\quad b=b_1b_2;\quad b_1^p=m^p+n^p; \quad b_2^p=m^p-n^p$$

Имеем два равенства по уравнению Ферма. Без потери общности рассмотрим

$$b_1^p=m^p+n^p$$

Согласно свойств степеней с показателем $p>2$, степень $ b_1^p$ ,будет составной . Пусть $ b_1^p=N_1^pN_2^p$.
Составим тождество

$$N_1^pN_2^p=N_1^pt^p_n+N_1^p(N_2^p-t_n^p) \qquad 1\leqslant t^p_n \leqslant (N_2-1)^p \qquad \qquad \e(1)$$

Со всеми возможными значениями текущей степени $t_n^p$ в указанном в (1) интервале; $(t_n)$ -натуральные числа.
Выражение $N_1^p(N_2^p-t_n^p) $ правой части (1) не может быть степенью натурального числа, так как в этом случае, степенью, c тем же показателем $p$, становилось бы выражение $(N_2^p-t_n^p)$. То есть существовали бы равенства

$$N_3^p=N_2^p-t_n^p;\qquad N_2^p=N_3^p+t_n^p,$$

где все числа натуральные. В этом случае степень $(N_2^p)$ также составная. Тогда составлялось бы новое тождество

$$N_2^p=N_4^pN_5^p=N_4^p t_n^p+N_4^p(N_5^p-t_n^p) \qquad 1\leqslant t^p_n \leqslant (N_5-1)^p \qquad \qquad \e(2)$$

Со всеми возможными значениями текущей степени $t_n^p$ в указанном в (2) интервале.
Снова $(N_5^p-t_n^p)$ не может быть степенью натурального числа, так как тогда степень $(N_5^p)$ снова являлась бы составной и существовало бы третье тождество и т.д. до бесконечности. Но не может быть бесконечного уменьшения целого числа.
Таким образом, мы доказали, что невозможно разложить произвольную составную степень с простым показателем $(p>2)$ в сумму двух других степеней с тем же показателем, если указанные степени имеют общий делитель.
Но, если не существует такое разложение, то тогда не существует разложение и при сокращении общего делителя, то есть при взаимно простых степенях. Следовательно, не существует равенства $b_1^p=m^p+n^p$ в целых числах, поэтому площадь заданного треугольника со сторонами $(2a^p,b^p,c)$ не может быть степенью с любым показателем больше 1. Тем самым и доказана ВТФ для всех степеней с произвольным показателем больше 2.

[venco]

lasta в сообщении #1149693 писал(а):

Перейдем теперь к доказательству утверждения, что площадь прямоугольного треугольника со сторонами в целых числах, не может быть вообще ни какой степенью.

Как ни зайдёшь в форум ВТФ, так сразу натыкаешься на неверное утверждение. Возможно, вы написали не то, что хотели, но прямоугольный треугольник с целыми сторонами 18, 24, и 30 имеет площадь $216=6^3$. Можно и пятую степень сделать.

[lasta]

venco в сообщении #1149695 писал(а):

Возможно, вы написали не то, что хотели, но прямоугольный треугольник с целыми сторонами 18, 24, и 30 имеет площадь $216=6^3$. Можно и пятую степень сделать.

Благодарю venco! Благодаря Вашему оперативному замечанию успел сделать поправку. Не существует прямоугольного треугольника со сторонами, определяемыми взаимно простыми числами$2a^p, b^p,c$ , чтобы его площадь была степенью с любым показателем больше 1.

[lasta]

Итак, с помощью прямоугольного треугольника доказана ВТФ в общем случае. Нет сомнения в том, что этим же методом Ферма доказал бы и гипотезу Била.
Пусть площадь прямоугольного треугольника имеет стороны в целых взаимно простых числах $(2a^x,b^y,c)$ ,
Теперь числа для формул индусов должны быть степенями $2a^x=2m^x n^x; \quad b^y=m^{2x}-n^{2x};\quad c=m^{2x}+n^{2x}$. Площадь прямоугольного треугольника

$$S=1/2a^xb^y=m^xn^x (m^{2x}-n^{2x})=m^xn^x(m^x+n^x)(m^x-n^x)=a^xb_1^yb_2^y$$

$$\quad b=b_1b_2;\quad b_1^y=m^x+n^x; \quad b_2^y=m^x-n^x$$

Имеем два частных равенства по уравнению Била
Кроме того, что особенно важно, катет $b^y$ и гипотенуза $(c)$ определяются составными числами.
Необходимо доказать, что $a^x+b^y=c_1$, где $(c_1)$ не является степенью с показателем больше 2.

[ananova]

lasta в сообщении #1150227 писал(а):

Итак, с помощью прямоугольного треугольника доказана ВТФ в общем случае.

lasta Для прямоугольного треугольника $abc$ я встречал несколько доказательств ВТФ и даже в напечатанных книжках. Ни на одно из них не ссылаются как на проверенное общепринятое доказательство. Что Вы скажете тем критикам, которые просят привести доказательство для треугольников с произвольными углами?

[ishhan]

lasta в сообщении #1150227 писал(а):

Итак, с помощью прямоугольного треугольника доказана ВТФ в общем случае. Нет сомнения в том, что этим же методом Ферма доказал бы и гипотезу Била.

Уважаемый lasta!
Вы, похоже забрели в тупиковую ветвь лабиринта ВТФ, поверьте мне на слово, я и сам немало исходил по этому лабиринту, как и многие известные Вам любители ВТФ с этого форума.
Условия целостности для пифагоровых троек и условия целостности для ВТФ троек относятся соответственно к чётным и нечётным показателям степеней.
Всё это пройдено много раз.
Может стоит вернуться к Триноминальному тождеству для простых показателей степени, которое Вы использовали в методе спуска.

[lasta]

ananova в сообщении #1150307 писал(а):

Что Вы скажете тем критикам, которые просят привести доказательство для треугольников с произвольными углами?

Уважаемый ananova!
Благодарю за то, что уделили время.
Критики справедливо требуют проведение доказательства для треугольников с произвольными углами в тех случаях, когда равенство по уравнению Пифагора

$$A^2+B^2=C^2$$

пытаются подменить равенством по уравнению Ферма. Понятно, что в последнем случае стороны прямоугольного треугольника не могут быть основаниями степеней.
В нашем же случае используется уравнение Пифагора

$$(2a^p)^2+(b^p)^2=C^2,$$

где катеты $A=2a^p; \quad B=b^p$.
И формулами индусов мы находим значения сторон треугольника $(A,B,C)$. Понятно, что в этом случае числа индусов являются степенями.
Кроме того, рассматривается площадь прямоугольного треугольника.
Ферма доказал сначала свое утверждение для биквадратов. Затем (предположительно) для кубов и других степеней. Подробное доказательство для биквадратов Ферма заканчивает аналогичной фразой как и для ВТФ "Полное доказательство с развернутыми пояснениями не может быть помещено на полях из-за их узости. Это проясняет каким методом доказывал Ферма свое великое утверждение.
Ферма многогранно знал свой метод бесконечного спуска, и заявлял, что приложения спуска к задачам могут быть совершенно различны. Поэтому можно предполагать, что он применил для своей теоремы особый метод спуска (возможно похожий на метод, рассматриваемый в теме). То есть он не вывел метод спуска в ходе доказательства, а применил уже известный. Этим и отличается применение прямоугольного треугольника в методах Ферма от известных попыток доказательств теоремы.

ishhan в сообщении #1150363 писал(а):

Вы, похоже забрели в тупиковую ветвь лабиринта ВТФ, поверьте мне на слово,

Уважаемый ishhan, при всем своем уважении к Вам, верю только формулам.

[ananova]

(Оффтоп)

Мне кажется, что только Вам это понятно.

Если "Ферма пишет" про треугольник с площадью квадрата, то почему Вы принимаете его треугольник за прямоугольный треугольник? Мне кажется Вы это должны обосновать обязательно. Почему именно должны быть такие стороны $(2a^2, b^2, c)$, а никакие другие? Также поясните, почему "Ферма пишет", что треугольник должен иметь площадь квадрата, а не объем куба? Без такого понимания, получается, что Вы сами выбрали себе теорию с параметрами, которые подходят для этой теории, и пытаетесь всех убедить, что это доказательство то самое, которое имел ввиду Ферма.

lasta в сообщении #1146271 писал(а):

Заданный треугольник определяется сторонами $(2a^2, b^2, c)$. Тогда существует треугольник со сторонами $(a^2, b_1^2, c_1)$, так как для любого квадрата всегда найдутся два минимальных квадрата, таких, что их сумма будет равна третьему квадрату. То есть будет выполняться равенство

$$(a^2)^2+(b_1^2)^2=c_1^2,$$

где $(a,b_1)$ - числа разной четности, определяющие катеты треугольника..