Перейдем теперь к доказательству утверждения, что площадь прямоугольного треугольника со сторонами в целых взаимно простых числах
![$(2a^p,b^p,c)$ $(2a^p,b^p,c)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/0/24097379ee749c569c66d08b5f230ea982.png)
, не может быть вообще ни какой степенью.
Имеем треугольник со сторонами
![$(2a^p,b^p,c)$ $(2a^p,b^p,c)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/0/24097379ee749c569c66d08b5f230ea982.png)
Теперь числа для формул индусов должны быть степенями
![$2a^p=2m^pn^p; \quad b^p=m^{2p}-n^{2p};\quad c=m^{2p}+n^{2p}$ $2a^p=2m^pn^p; \quad b^p=m^{2p}-n^{2p};\quad c=m^{2p}+n^{2p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb9ea55797e2267f2a45aa69b0109e4382.png)
. Площадь прямоугольного треугольника
![$$\quad b=b_1b_2;\quad b_1^p=m^p+n^p; \quad b_2^p=m^p-n^p$$ $$\quad b=b_1b_2;\quad b_1^p=m^p+n^p; \quad b_2^p=m^p-n^p$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/8/ee825847176fd684b83b1309a488bd0382.png)
Имеем два равенства по уравнению Ферма. Без потери общности рассмотрим
![$$b_1^p=m^p+n^p$$ $$b_1^p=m^p+n^p$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/e/d2e0e1b7c3896d1e889f625bfe214e9b82.png)
Согласно свойств степеней с показателем
![$p>2$ $p>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e56048504a7c156e1fe8fb5a14aec9e82.png)
, степень
![$ b_1^p$ $ b_1^p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/8/bb8a4059f38b07c6eac6ef4a03a752dd82.png)
,будет составной . Пусть
![$ b_1^p=N_1^pN_2^p$ $ b_1^p=N_1^pN_2^p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/c/45cb8986ac5ff9eee1d98473994fb18182.png)
.
Составим тождество
![$$N_1^pN_2^p=N_1^pt^p_n+N_1^p(N_2^p-t_n^p) \qquad 1\leqslant t^p_n \leqslant (N_2-1)^p \qquad \qquad \e(1)$$ $$N_1^pN_2^p=N_1^pt^p_n+N_1^p(N_2^p-t_n^p) \qquad 1\leqslant t^p_n \leqslant (N_2-1)^p \qquad \qquad \e(1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/b/f8b5218dda99dd8192fcfcfc4fda3ce482.png)
Со всеми возможными значениями текущей степени
![$t_n^p$ $t_n^p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/5/125ec0cf1213afb62aa76152257f22d882.png)
в указанном в (1) интервале;
![$(t_n)$ $(t_n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/4/584537ce6fb60f669dcbec2ed56467da82.png)
-натуральные числа.
Выражение
![$N_1^p(N_2^p-t_n^p) $ $N_1^p(N_2^p-t_n^p) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/e/c7e0c3feb433512712fe4f087eb4a86682.png)
правой части (1) не может быть степенью натурального числа, так как в этом случае, степенью, c тем же показателем
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
, становилось бы выражение
![$(N_2^p-t_n^p)$ $(N_2^p-t_n^p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/0/a705e3d647ffe758248e1bdf8986943982.png)
. То есть существовали бы равенства
![$$N_3^p=N_2^p-t_n^p;\qquad N_2^p=N_3^p+t_n^p,$$ $$N_3^p=N_2^p-t_n^p;\qquad N_2^p=N_3^p+t_n^p,$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78e64fea74c0f704fad107e921c9da8682.png)
где все числа натуральные. В этом случае степень
![$(N_2^p)$ $(N_2^p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/f/c9f251bb6b3c7132e2683420008d8c6e82.png)
также составная. Тогда составлялось бы новое тождество
![$$N_2^p=N_4^pN_5^p=N_4^p t_n^p+N_4^p(N_5^p-t_n^p) \qquad 1\leqslant t^p_n \leqslant (N_5-1)^p \qquad \qquad \e(2)$$ $$N_2^p=N_4^pN_5^p=N_4^p t_n^p+N_4^p(N_5^p-t_n^p) \qquad 1\leqslant t^p_n \leqslant (N_5-1)^p \qquad \qquad \e(2)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/6/eb637bc69943013b4d610322eff57f1d82.png)
Со всеми возможными значениями текущей степени
![$t_n^p$ $t_n^p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/5/125ec0cf1213afb62aa76152257f22d882.png)
в указанном в (2) интервале.
Снова
![$(N_5^p-t_n^p)$ $(N_5^p-t_n^p)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/c/56cb6ca747d3744eb10d5ee34a90a4e482.png)
не может быть степенью натурального числа, так как тогда степень
![$(N_5^p)$ $(N_5^p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/f/28f9b0e00d80bc6001a0bf480bdfd49a82.png)
снова являлась бы составной и существовало бы третье тождество и т.д. до бесконечности. Но не может быть бесконечного уменьшения целого числа.
Таким образом, мы доказали, что невозможно разложить произвольную составную степень с простым показателем
![$(p>2)$ $(p>2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/a/7faf457979db77adfaad8f7e2f07287f82.png)
в сумму двух других степеней с тем же показателем, если указанные степени имеют общий делитель.
Но, если не существует такое разложение, то тогда не существует разложение и при сокращении общего делителя, то есть при взаимно простых степенях. Следовательно, не существует равенства
![$b_1^p=m^p+n^p$ $b_1^p=m^p+n^p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/9/30940c4f9f3d0eb88d0e1c23680e29ac82.png)
в целых числах, поэтому площадь заданного треугольника со сторонами
![$(2a^p,b^p,c)$ $(2a^p,b^p,c)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/0/24097379ee749c569c66d08b5f230ea982.png)
не может быть степенью с любым показателем больше 1. Тем самым и доказана ВТФ для всех степеней с произвольным показателем больше 2.