Минимизация без использования производной

[wrest]

Наверное надо возвращаться к корням и параметрам.

То есть, наверное мы на самом деле исследуем, как ведет себя функция $f(x)=t(x)-C$ -- пересекается ли её график с осью $x$ и сколько раз, в зависимости от параметра $C$. Для этого мы ищем корни уравнения $5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)-C=0$ и находим, что корень ровно один при $C=98$ и $C=62$. Раз корень ровно один, то этот корень как раз и является глобальным минимумом.

$C=62$ нам почему-то (пока не понял, почему) не подходит, а $C=98$ подходит и для него получается $t(x)=98$ и $x=8$

[miflin]

wrest в сообщении #1149557 писал(а):

Подозреваю что есть и какой-то красивый геометрический метод решения этой задачи, поскольку эта задача эквивалентна нахождению траектории луча света при преломлении (крокодил -- свет, его скорость разная в разных средах вода\суша, до цели (зебра) крокодил (свет) идет за минимальное время.

В этом случае можно, помня о принципе Ферма, сразу написать закон преломления, из которого легко находится $x=8$

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n=\frac{5}{4}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+36}}}$$

Здесь ситуация сильно облегчается тем, что корова стоит на берегу, иначе... см. далее там же #7 (через один пост).
Но вряд ли математики одобрят такое решение...

[wrest]

miflin в сообщении #1149627 писал(а):

В этом случае можно, помня о принципе Ферма, сразу написать закон преломления, из которого легко находится $x=8$

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n=\frac{5}{4}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+36}}}$

Как это "сразу написать закон преломления"? Ферма хоть и не знал про производные столько сколько написано в учебниках по матану, но все же применил, насколько я понимаю, аппарат бесконечно малых.

Нужны рассуждения что, как и почему. В школьном объеме. Я там выше приводил другое решение -- с веревками, грузами и кольцом. Оно дает верный ответ, и там совсем простая геометрия. Но неясно почему одну задачу можно подменить другой.

-- 06.09.2016, 17:09 --

miflin в сообщении #1149627 писал(а):

Здесь ситуация сильно облегчается тем, что корова стоит на берегу, иначе... см. далее там же #7 (через один пост).
Но вряд ли математики одобрят такое решение...

Кстати о грузах и кольцах. Ставим чертеж с кошкиным домом горизонтально (как на рисунке ниже). На место реки крепим стержень и надеваем на него скользящее без трения кольцо.

В курочкином доме ставим блок и через него подвешиваем груз пропорциональный скорости курочки с пустым ведром, второй конец веревки привязываем к кольцу. В кошкином доме ставим блок и через него подвешиваем груз пропорциональный скорости с полным ведром, второй конец веревки привязываем к кольцу. Установившееся равновесие, наверное, и покажет оптимальный путь курочки к реке и кошкиному дому (т.е. курочке надо бежать по веревке до кольца к реке и затем от кольца к кошкиному дому).

[miflin]

wrest в сообщении #1149641 писал(а):

Как это "сразу написать закон преломления"?

Потому что в законе преломления заложен минимум временных затрат.
А задача с крокодилом и коровой математически эквивалентна процессу преломления света, как Вы и сами сказали.
Граничный случай полного внутреннего отражения, поскольку корова стоит на берегу. Это упрощает решение.
Так "пуркуа бы и не па"?
Помню, на лекциях по физике лихо вычисляли интегралы: "Из физических соображений очевидно, что этот интеграл равен нулю".

[svv]

wrest
Пусть «угол падения» крокодила на береговую линию (отсчитываемый от перпендикуляра, как в оптике) равен $\alpha$. Ширина реки $h$. Зебра сдвинута на $\ell$ относительно крокодила вдоль реки. Скорость крокодила по земле $1$, в воде $k$.
Рассмотрим время пути до зебры как функцию $\alpha$. Крокодил проплывает расстояние $\sqrt{h^2+(h\tg\alpha)^2}=\dfrac h{\cos\alpha}$, пробегает $\ell-h\tg\alpha$, и т.д. и т.п.
В конечном счете, отбросив несущественные для точки минимума постоянные слагаемые и общие множители, получим, что время минимально тогда, когда достигает минимума функция
$\dfrac{1-k\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Это происходит при $\sin\alpha=k$. Нельзя ли получить это без производных? До сих пор всё было вполне доступно школьнику, знающему, что такое тангенс.

[wrest]

svv в сообщении #1149655 писал(а):

Скорость крокодила по земле $1$, в воде $k$.
Рассмотрим время пути до зебры как функцию $\alpha$. Крокодил проплывает расстояние $\sqrt{h^2+(h\tg\alpha)^2}=\dfrac h{\cos\alpha}$, пробегает $\ell-h\tg\alpha$, и т.д. и т.п.
В конечном счете, отбросив несущественные для точки минимума постоянные слагаемые и общие множители, получим, что время минимально тогда, когда достигает минимума функция
$\dfrac{1-k\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Это происходит при $\sin\alpha=k$. Нельзя ли получить это без производных? До сих пор всё было вполне доступно школьнику, знающему, что такое тангенс.

У меня не получалось. В целом, поскольку синус и косинус связаны через формулу $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, то там опять вылезает квадратный корень (типа $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$) и далее все тоже самое что уже обсуждено. В силу монотонности синуса (и косинуса), можно заменить $\dfrac{1-k\sin\alpha}{\cos\alpha}$ на $\dfrac{1-kx}{\sqrt{1-x^2}}$ и решать задачу минимизации относительно $x$

Но я все-таки подозреваю что какой-то способ должен быть.

[Someone]

wrest в сообщении #1149618 писал(а):

Для этого мы ищем корни уравнения $5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)-C=0$ и находим, что корень ровно один при $C=98$ и $C=62$. Раз корень ровно один, то этот корень как раз и является глобальным минимумом.

$C=62$ нам почему-то (пока не понял, почему) не подходит, а $C=98$ подходит и для него получается $t(x)=98$ и $x=8$

Ну, наверное, надо, кроме $C=62$, найти соответствующий $x$, и проверить, будет ли всё это удовлетворять уравнению…
Также обратите внимание на сообщение deep blue.

[amon]

Здесь приведен Гюйгенсовский вывод закона Снеллиуса, не использующий производной.

[svv]

wrest
Придумал простое геометрическое рассуждение.

На картинке изображено несколько подобных прямоугольных треугольников (из бесконечного семейства). У одного из треугольников вершины обозначены: $A,B,C$. Из картинки понятно, какие вершины других треугольников соответствуют этим обозначенным.

Пусть все вершины, соответствующие $C$ (при прямом угле), находятся в одной точке. Пусть все вершины, соответствующие $A$, лежат на одной горизонтальной прямой (на картинке серая $AG$). Тогда все вершины, соответствующие $B$, будут лежать на одной вертикальной прямой (на картинке фиолетовая). Достаточно ли это очевидно? Если да, я продолжу.

[wrest]

Someone в сообщении #1149692 писал(а):

Ну, наверное, надо, кроме $C=62$, найти соответствующий $x$, и проверить, будет ли всё это удовлетворять уравнению…
Также обратите внимание на сообщение deep blue.

$x$ для $C=62$ находится легко, он равен $-8$, $t(-8)=162$, в точке $x=-8$ никакого экстремума $t(x)$ нет.

-- 07.09.2016, 09:28 --

amon в сообщении #1149733 писал(а):

Здесь приведен Гюйгенсовский вывод закона Снеллиуса, не использующий производной.

О, спасибо, надо изучить.

-- 07.09.2016, 10:16 --

svv в сообщении #1149741 писал(а):

Тогда все вершины, соответствующие $B$, будут лежать на одной вертикальной прямой (на картинке фиолетовая). Достаточно ли это очевидно? Если да, я продолжу.

Лично мне это совсем не очевидно :(

[svv]

Прямые, параллельные $AG$, называем горизонтальными, перпендикулярные им — вертикальными. Проведём вертикальные прямые через $A$ и $B$, и горизонтальную через $C$. Пересечения — точки $O, M$.

Угол $ACB$ прямой, поэтому сумма углов $ACM+BCO=90°$. Тогда треугольники $BOC$ и $CMA$ (закрашены серым) подобны по трём углам. Следовательно, $OC:MA=BC:CA$.
Отношение катетов, соответственных $BC:CA$, одинаково для всех треугольников семейства, в силу их подобия. Следовательно, отношение $OC:MA$ тоже. Расстояние $MA$ по условию для всех треугольников семейства одинаково, тогда и расстояние $OC$ тоже.

[Someone]

wrest в сообщении #1149752 писал(а):

$x$ для $C=62$ находится легко, он равен $-8$, $t(-8)=162$, в точке $x=-8$ никакого экстремума $t(x)$ нет.

А что, пара $C=62$, $x=-8$ является решением вашего уравнения?

wrest в сообщении #1149618 писал(а):

$5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)-C=0$

Подставить не пробовали?

[wrest]

Someone в сообщении #1149798 писал(а):

А что, пара $C=62$, $x=-8$ является решением вашего уравнения?

wrest в сообщении #1149618 писал(а):

$5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)-C=0$

Подставить не пробовали?

А, точно. 62 не подходит, теперь понятно, спасибо.

[miflin]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1149641 писал(а):

В курочкином доме ставим блок и через него подвешиваем груз пропорциональный скорости курочки с пустым ведром, второй конец веревки привязываем к кольцу. В кошкином доме ставим блок и через него подвешиваем груз пропорциональный скорости с полным ведром, второй конец веревки привязываем к кольцу. Установившееся равновесие, наверное, и покажет оптимальный путь курочки к реке и кошкиному дому (т.е. курочке надо бежать по веревке до кольца к реке и затем от кольца к кошкиному дому).

В этой статической модели действительно получается нечто похожее на закон преломления, но только похожее.
Вместо $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$ имеем $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{1}{n}$,
поэтому бежать до кольца - не оптимальный путь.

[wrest]

miflin в сообщении #1149827 писал(а):

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1149641 писал(а):

В курочкином доме ставим блок и через него подвешиваем груз пропорциональный скорости курочки с пустым ведром, второй конец веревки привязываем к кольцу. В кошкином доме ставим блок и через него подвешиваем груз пропорциональный скорости с полным ведром, второй конец веревки привязываем к кольцу. Установившееся равновесие, наверное, и покажет оптимальный путь курочки к реке и кошкиному дому (т.е. курочке надо бежать по веревке до кольца к реке и затем от кольца к кошкиному дому).

В этой статической модели действительно получается нечто похожее на закон преломления, но только похожее.
Вместо $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$ имеем $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{1}{n}$,
поэтому бежать до кольца - не оптимальный путь.

Значит, грузы надо поменять местами. Или заменить на обратные, что эквивалентно поменять местами -- например вместо 4 и 5 кг подвесить 1/4 и 1/5 кг. Чтобы бОльшей скорости соответствовал мЕньший груз, тогда в пределе, когда с пустым ведром курочка бегает бесконечно быстро, ей надо будет бежать точно под кошкин дом бесконечно быстро, а уже оттуда плестись с полным ведром к кошкиному дому по кратчайшеему от реки пути.
Да, моя ошибка -- в изначальной модели грузы перепутаны местами.