Совпадение теорем

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1148982 писал(а):

А как тогда в этой же нотации обозначается 0? Случайно не $\bot$ ?

Случайно да. В прочем, оно, по-моему, куда чаще встречается, чем $\top$.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1148991 писал(а):

В прочем, оно, по-моему, куда чаще встречается, чем $\top$.

Пока ни того, ни другого не встречал.
Мне вот подумалось, забываю написать. Смотрите. Вот 2 предложения "Если $A$, то $B$" и "Из $A$ следует $B$". Вот в бытовом смысле эти предложения тождественны. А в матлогике это совершенно разные даже не предложения, а конструкции. Первая - это четырехвариантная связка и если она есть в рассуждении, то при наличии в том же рассуждении посылки $A$ в нем появляется логическое следствие "$A$ следует $B$" и это логическое следствие уже одновариантно. Я в верном направлении мыслю?

[mihaild]

Да, $\bot$.

Update: не заметил новую страницу.

[arseniiv]

Про четырёх-/одновариантность в первый раз слышу. Похоже, вам повезло с литературой…

-- Вс сен 04, 2016 17:39:30 --

(Втуне надеюсь, это не слова какого-нибудь любителя развести бессмысленную классификацию.)

[gefest_md]

Sinoid в сообщении #1149013 писал(а):

Вот 2 предложения "Если $A$, то $B$" и "Из $A$ следует $B$". Вот в бытовом смысле эти предложения тождественны.

Если кто-то решает, что лучше высказать одно из этих предложений вместо другого, то может они не тождественны?

[Sinoid]

gefest_md в сообщении #1149042 писал(а):

Если кто-то решает, что лучше высказать одно из этих предложений вместо другого, то может они не тождественны?

Чтобы решать что-то подобное, нужно иметь более-менее аналитическое мышление, я же имел ввиду простых обывателей, да в том числе и участников этого обсуждения, когда они не задумываются о нюансах отличий понятий матлогики.

arseniiv в сообщении #1149036 писал(а):

Про четырёх-/одновариантность в первый раз слышу. Похоже, вам повезло с литературой…

Это собственные попытки понять импликацию. Хорошо, давайте еще попробую объяснить свои мысли так (может, в этот раз удастся пробить стену). Вот скажите, пожалуйста, сколько строк в таблице истинности импликации?

-- 04.09.2016, 23:03 --

Послушайте, ну вот тут же, там где "житейский смысл импликации" импликация распадается на 4 варианта.

[mihaild]

Не очень понятно, что значит "$n$-вариантность".

Импликация - булева функция 2х аргументов, соответственно, в ее таблице истинности $2^2 = 4$ строки.

Sinoid в сообщении #1149111 писал(а):

они не задумываются о нюансах отличий понятий матлогики

В матлогике, как раз чтобы не заморачиваться с формулировками, пишут значки. $\vdash, \vDash, \rightarrow$ (выводимость в теории, выполненность в модели, обычная импликация) - и доказывают разные теоремы про их связи. Как именно переводить формулы в слова - неважно, пока понятно, как вернуться к формулам.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1149111 писал(а):

Хорошо, давайте еще попробую объяснить свои мысли так (может, в этот раз удастся пробить стену). Вот скажите, пожалуйста, сколько строк в таблице истинности импликации?

Четыре, как и у любой другой функции $\{0,1\}^2\to X$. Импликация тут не выделена; а чтобы в таблице истинности была только одна строка, нужно брать функцию нуля аргументов $\{()\}\to X$, а такие функции взаимно однозначно соответствуют просто элементам $X$, и тут никакой импликацией пахнуть не может.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1149136 писал(а):

в ее таблице истинности $2^2 = 4$ строки.

Вот! И 4 их именно потому, что на первых двух местах каждой строки таблицы истинности рассматриваются всевозможные комбинации значений посылки и следствия. И каждую эту строку я и называю вариантом. Вот когда школьник доказывает теорему "Если число делится на 6, то оно делится и на 3", он понимает ее как одновариантную мысль: Истина то, что если истина часть, которая между "если" и "то", то истина часть, которая после "то". Для него, как и для большинства обывателей, существует только единственная строка таблицы истинности импликации. И предложения типа "Если ты балерина, то я космонавт" употребляются в единственном понимании истинности посылки и следствия (ложь, ложь), (0, 0). Это потративший на размышления математик, когда записывает теорему "Если число делится на 6, то оно делится и на 3" в виде импликации $A \to B$ и видит, как при этом появляется еще 3 варианта комбинаций истиности/ложности для посылки и следствия (когда он доказывал эту теорему на бумаге - прямым путем, с помощью теории чисел, без доказательства от противного и т. п. он записал посылку, предположил ее истинной и из этой истинной по предположению посылки вывел истинность заключения, т.е. в момент доказательства это утверждение для него было одновариантно), ничему не удивляется.

[mihaild]

Кажется, я вас не понимаю.

Что вообще значит "одновариантная мысль"? (определение) Что значит "существует только одна строка"?

Чтобы доказать импликацию $A \rigtharrow B$, нужно, например, доказать, что не быват $\neg B \wedge A$. Или воспользоваться теоремой о дедукции и доказать, что $A \vdash B$. Никакой проблемы я тут не вижу.

[gefest_md]

Sinoid в сообщении #1149268 писал(а):

Вот когда школьник доказывает теорему "Если число делится на 6, то оно делится и на 3", он понимает ее как одновариантную мысль: Истина то, что если истина часть, которая между "если" и "то", то истина часть, которая после "то". Для него, как и для большинства обывателей, существует только единственная строка таблицы истинности импликации.

Не можем говорить о конкретной строке таблицы, если в выражениях "число делится на 6" и "число делится на 3" число неизвестно.

-- Пн сен 05, 2016 14:56:33 --

т.е. нельзя сказать, что "число делится на 6" либо истинно, либо ложно.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1149283 писал(а):

Что вообще значит "одновариантная мысль"? (определение)

Это значит, что школьник, еще незнакомый с понятиями достаточности и необходимости, при анализе теоремы, для того, чтобы понять всей своей сутью только что доказанную теорему, будет брать только числа, кратные шести (единственность посылки) и всякий раз будет получать, что это число кратно трем. Ну не будет среднестатистический школьник, только-только начинающий изучать алгебру и геометрию, рассматривать числа вида $6k_1+3$ для иллюстрации возможности случая ложной посылки и истинного заключения, просто потому что ему еще не показали, что такое может быть. Не существует в его понимании применительно к этой теореме первой, второй и третьей строки таблицы истинности.

gefest_md в сообщении #1149302 писал(а):

т.е. нельзя сказать, что "число делится на 6" либо истинно, либо ложно.

Так я могу просто переформулировать теорему: "Число вида $6p$ является числом вида $3q$".
Так, хорошо, давайте попробую зайти с другой стороны. Есть теорема

Sinoid в сообщении #1149268 писал(а):

"Если число делится на 6, то оно делится и на 3"

Ввожу обозначения
$A$ : "число делится на 6",
$B$ : "это же число делится на 3"
Записываю теорему с помощью импликации: $A \to B$. Строю таблицу истинности этой импликации:

$$\begin{tabular}{|c|c||c|} \hline \mbox{\ensuremath{A}} & \mbox{\ensuremath{B}} & \mbox{\ensuremath{A\rightarrow B}}\\ \hline 0 & \mbox{0} & 1\\ \hline 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ \hline 1 & 1 & 1 \\\hline \end{tabular} $$

скажите, пожалуйста, какую формулировку имеет, скажем, первая строка этой таблицы в терминах теоремы "Если число делится на 6, то оно делится и на 3" ?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1149470 писал(а):

будет брать только числа, кратные шести (единственность посылки) и всякий раз будет получать, что это число кратно трем

И правильно. Если нас интересует истинность импликации - нам нужно проверять только случаи, когда посылка истинна. Другие нас не интересуют. Нам важно, чтобы не реализовывалась третья строка. Какие из остальных комбинаций бывают, какие нет - на истинность утверждения не влияют.

Вообще, "одновариантность" и прочие "существование строк в понимании" - это математические понятия, или нет? Если да, то в их определении никаких "школьников" быть не должно. Если нет - то зачем о них вообще говорить?

[gefest_md]

Sinoid в сообщении #1149470 писал(а):

Так я могу просто переформулировать теорему: "Число вида $6p$ является числом вида $3q$".

Ничего не поменялось. "Число имеет вид $6p$" истинно или ложно?

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1149474 писал(а):

Вообще, "одновариантность" и прочие "существование строк в понимании" - это математические понятия, или нет? Если да, то в их определении никаких "школьников" быть не должно. Если нет - то зачем о них вообще говорить?

А говорю я, потому что меня здесь убеждали, что в предложения с "Если, то" люди вкладывают тот же смысл, который имеет импликация с теми же посылкой с следствием.

mihaild в сообщении #1149474 писал(а):

Нам важно, чтобы не реализовывалась третья строка.

Так тоже правильно. При этом, если посылка оказывается истинной, то, т.к. третья строка никогда не реализуется, а строк с истинной посылкой в таблице истинности импликации всего 2, то будет реализовываться четвертая строка. Если же, при условии возможности реализации четвертой строки и невозможности реализации третьей строки наступил случай ложности посылки, даже если, скажем, при этом условии следствие всегда истина, это опять-таки возможный вариант из таблицы истинности импликации и это не будет вызывать противоречия при записи теоремы в виде "посылка $\to$ следствие"