Есть такая теорема абстрактная про гильбертовы пространства:
Есть непрерывный, самосопряженный, положительный, компактный оператор на гильбертовом пространстве. Тогда существует не более чем счетное семейство из собственных векторов и это - полная ортогональная система.
(ну то, что ортогональная - этого легко добиться. надо просто взять собственные вектора, соответствующие разным собственным зн-ям, они будут ортогональны. Проблема показать, что такое семейство полное.)
Что такое полная система? Есть какое-то пространство
и есть
. Линейной оболочкой
называется множество
Теперь
полная система элементов, если её линейная оболочка всюду плотна, то есть
Или другими словами: любой элемент из пространства может быть представлен в виде сходящегося в смысле этого пространства ряда
.
В доказательстве заводим такие обозначения:
- все конечные линейные комбинации собственных векторов.
В доказательстве приходим к тому, что
И говорим, что следовательно
- всюду плотно в
Почему оно всюду плотно будет?
Была идея, что надо пользоваться таким фактом :
но это верно, если
- замкнутое подпространство. Но у нас оно является бесконечным объединением собственных подространств (а они замкнуты). Значит оно не замкнуто.