Полная ортогональная система собств. векторов

[falazure123]

Есть такая теорема абстрактная про гильбертовы пространства:
Есть непрерывный, самосопряженный, положительный, компактный оператор на гильбертовом пространстве. Тогда существует не более чем счетное семейство из собственных векторов и это - полная ортогональная система.
(ну то, что ортогональная - этого легко добиться. надо просто взять собственные вектора, соответствующие разным собственным зн-ям, они будут ортогональны. Проблема показать, что такое семейство полное.)

Что такое полная система? Есть какое-то пространство $X$ и есть $Y \subset X$. Линейной оболочкой $Y$ называется множество $L(Y) = \left\lbrace x=\sum\limits_{1}^{n} c_j y_j ; c_j \in R , y_j \in Y \right\rbrace$
Теперь $\left\lbrace x_\alpha \right\rbrace$ полная система элементов, если её линейная оболочка всюду плотна, то есть $\overline{L(\left\lbrace x_\alpha \right\rbrace)} = X$
Или другими словами: любой элемент из пространства может быть представлен в виде сходящегося в смысле этого пространства ряда $\sum\limits_{}^{}c_k y_k$.

В доказательстве заводим такие обозначения: $\mu_0 = 0$
$H_0 = \operatorname{Ker} T$
$H_i = \operatorname{Ker} (T - \mu_i E)$
$\widetilde{H} = span(\bigcup\limits_{0}^{\infty}H_i)$ - все конечные линейные комбинации собственных векторов.

В доказательстве приходим к тому, что $\widetilde{H}^{\perp} = \left\lbrace 0 \right\rbrace$
И говорим, что следовательно $\widetilde{H}$ - всюду плотно в $H$
Почему оно всюду плотно будет?

Была идея, что надо пользоваться таким фактом : $H = \widetilde{H} \oplus \widetilde{H}^{\perp}$
но это верно, если $\widetilde{H}$ - замкнутое подпространство. Но у нас оно является бесконечным объединением собственных подространств (а они замкнуты). Значит оно не замкнуто.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

А если взять замыкание подпространства, то это замыкание будет содержать исходное подпространство?

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #1148574 писал(а):

А если взять замыкание подпространства, то это замыкание будет содержать исходное подпространство?

ну замыкание множества - это наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество.

то есть само подпространство будет лежать в своём замыкании.

как мне это может помочь?

[Brukvalub]

А как ведет себя ортогональное дополнение к подпространству, если подпространство увеличивается по включению?

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #1148596 писал(а):

А как ведет себя ортогональное дополнение к подпространству, если подпространство увеличивается по включению?

Если $X \subseteq Y$, то $Y^{\perp} \subseteq X^{\perp}$

это имеется в виду?

[falazure123]

что сейчас получается у меня

$\widetilde{H}^\perp = \left\lbrace0\right\rbrace$ это уже доказано было.
надо доказать, что $\overline{\widetilde{H}} = H$

Известно, что $\widetilde{H} \subseteq \overline{\widetilde{H}} $

тогда можно сказать, что $\overline{\widetilde{H}}^\perp \subseteq \widetilde{H}^\perp$
дальше не понятно.

-- 04.09.2016, 22:42 --

Может здесь всё таки надо использовать критерий полноты семейства?

Семейство $\left\lbrace u_j \right\rbrace$ полное, если и только если
$ \forall j \forall f$ $(f, u_j) = 0 \Rightarrow f = 0$
то есть , если не существует ненулевого элемента ортогонального всем элементам системы

[Brukvalub]

falazure123 в сообщении #1148284 писал(а):

Была идея, что надо пользоваться таким фактом : $H = \widetilde{H} \oplus \widetilde{H}^{\perp}$
но это верно, если $\widetilde{H}$ - замкнутое подпространство.

falazure123 в сообщении #1149106 писал(а):

$\widetilde{H}^\perp = \left\lbrace0\right\rbrace$ это уже доказано было.
надо доказать, что $\overline{\widetilde{H}} = H$

Известно, что $\widetilde{H} \subseteq \overline{\widetilde{H}} $

тогда можно сказать, что $\overline{\widetilde{H}}^\perp \subseteq \widetilde{H}^\perp$

Неужели всего этого не хватает, чтобы закончить док-во?

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #1149130 писал(а):

falazure123 в сообщении #1148284 писал(а):

Была идея, что надо пользоваться таким фактом : $H = \widetilde{H} \oplus \widetilde{H}^{\perp}$
но это верно, если $\widetilde{H}$ - замкнутое подпространство.

falazure123 в сообщении #1149106 писал(а):

$\widetilde{H}^\perp = \left\lbrace0\right\rbrace$ это уже доказано было.
надо доказать, что $\overline{\widetilde{H}} = H$

Известно, что $\widetilde{H} \subseteq \overline{\widetilde{H}} $

тогда можно сказать, что $\overline{\widetilde{H}}^\perp \subseteq \widetilde{H}^\perp$

Неужели всего этого не хватает, чтобы закончить док-во?

хоть убейте не вижу, как из этого следует, что $\overline{\widetilde{H}}=H$

подскажите, пожалуйста. утром сдавать надо, а из всех вопросов этот только остался не осмысленным (