Напряжённость электрического поля распределённого заряда

[Munin]

USAglobal в сообщении #1147781 писал(а):

Если, например, взять

$$\lim\limits_{\Delta q\to0}^{} \frac{F}{q} $$

, то что это будет? (здесь заряд не стремится к нулю, а стремится к нулю его приращение)

Ерунда какая-то.

USAglobal в сообщении #1147781 писал(а):

почему бы не проинтегрировать? Что мешает это сделать?

Ничего не мешает, но получится ерунда, не имеющая отношения ни к чему интересному и полезному.

[USAglobal]

Metford в сообщении #1147794 писал(а):

О! Мы сдвинулись. Вот это влияние, о котором Вы говорите, оно в чём заключается? Конкретно. Механизм. Что за индукция?

Здесь я могу только предполагать (в книге дальше рассказа не было). Наверное, речь идет о том, что система зарядов находится на каких-то телах. Тогда в результате воздействия нашего внесенного заряда начнётся перераспределение зарядов на этих телах: одноименные с нашим зарядом заряды на этих телах будут собираться подальше от заряда, а разноимённые будут собираться поближе к нему (на этих телах). Ну, соответственно, произойдет перераспределение зарядов в пространстве. Их силовые линии, возможно, поменяют форму. Где-то так

Munin в сообщении #1147799 писал(а):

Ерунда какая-то.

Да, виноват. Думал одно, а написал другое. Вот, что хотел написать:
$\lim\limits_{\Delta q\to0}^{} \frac{\Delta F}{\Delta q} $

[Metford]

USAglobal в сообщении #1147805 писал(а):

Наверное, речь идет о том, что система зарядов находится на каких-то телах. Тогда в результате воздействия нашего внесенного заряда начнётся перераспределение зарядов на этих телах: одноименные с нашим зарядом заряды на этих телах будут собираться подальше от заряда, а разноимённые будут собираться поближе к нему (на этих телах). Ну, соответственно, произойдет перераспределение зарядов в пространстве.

Прекрасно. Иными словами, внесение заряда повлекло за собой смещение зарядов, создающих внешнее поле, из-за чего это поле и поменялось. В свете этого можно сразу убить двух зайцев ответить на два вопроса: о пробном заряде и об изменении поля при перетаскивании заряда.

Пробный заряд, который служит для определения величины поля, не должен оказывать какое-либо влияние на источники внешнего поля, т.е. он не должен иметь возможность повлиять на их конфигурацию. Вот отсюда тот самый предельный переход, который Вы столько раз уже выписывали. Как бы близко ни находились источники измеряемого поля, пробный заряд не должен изменять их конфигурацию, чтобы из-за этого не поменялось измеряемое поле.

В электростатике есть классические два типа задач - такие грабли, на которые наступают практически все. В одном типе задач дано распределение зарядов, и требуется посчитать работу по переносу точечного заряда куда-нибудь. Заряды при этом считаются "прибитыми гвоздями к своим местам". Т.е. какой бы там ни был перетаскиваемый заряд - всё равно работа считается по формуле через криволинейный интеграл, потому что напряжённость внешнего поля меняться не будет: источники-то "прибиты". Во втором типе задач заряд таскают вблизи проводника. А вот там заряды не прибьёшь. Любое смещение перетаскиваемого заряда приведёт к изменению распределения электронов в проводнике - изменится поле. Поэтому в таких задачах считать работу криволинейным интегралом неудобно именно потому, что внешнее поле меняется. В этих случаях работу считают по-другому - через энергию.

Надеюсь, теперь ситуация прояснится.

[USAglobal]

А теперь я предложу свой случай на рассмотрение.

Предположим, в поле, создаваемом, системой зарядов, оказался пробный заряд q. Такой маленький, что влиянием его на систему зарядов можно пренебречь.

И если мы возьмем силу, действующую на него со стороны поля и отнесём её к величине этого заряда, то получим хорошее приближение для напряжённости поля.

А потом заряд начал расти. Растёт и растет сильно, например, в сотни или тысячи раз. Сила, действующая на него также, очевидно, будет расти.
Что же произоёдет с напряжённостью в этом случае? И как посчитать силу, действующую на заряд, подросший до значения $Q$, например?

[Metford]

USAglobal в сообщении #1147824 писал(а):

Что же произоёдет с напряжённостью в этом случае?

Если мы берём идеальный случай, когда источники поля закреплены, и никакими силами их с места не сдвинуть, а заряд растёт просто потому, что нам хочется рассмотреть величину побольше (т.е. никаких токов нет - чисто электростатический случай), то поле никак не изменится. Соответственно, и сила будет считаться ровно по той же формуле, только с другим значением заряда.

[USAglobal]

Если бы они были закреплены и не менялись, то не было бы смысла в выражении для напряжённости переходить к пределу. Правда? Достаточно просто взять отношение силы к заряду и дело с концом. (При постоянной скорости мнгновенная скорость равна средней или, что то же самое, расстоянию на единицу времени)

Предлагаю вариант, когда поле меняется. Но вариант упрощённый, в котром изменение поля можно представить функцией от заряда. Можно так сделать?

[Metford]

В такой постановке задачи нельзя игнорировать вопрос о том, как происходит увеличение заряда. Если же Вы хотите рассматривать ещё и движение источников внешнего поля, то задача при этом сильно усложнится. Там одной зависимостью от заряда дело не обойдётся.

[rustot]

USAglobal в сообщении #1147831 писал(а):

Если бы они были закреплены и не менялись, то не было бы смысла в выражении для напряжённости переходить к пределу. Правда? Достаточно просто взять отношение силы к заряду и дело с концом. (При постоянной скорости мнгновенная скорость равна средней или, что то же самое, расстоянию на единицу времени)

Если они не закреплены, тогда вам нужны дополнительные данные о том как именно сдвинутся эти заряды под действием поля пробного, на пружинах какой жесткости они скажем закреплены.

[Munin]

USAglobal в сообщении #1147805 писал(а):

Да, виноват. Думал одно, а написал другое. Вот, что хотел написать:
$\lim\limits_{\Delta q\to0}^{} \frac{\Delta F}{\Delta q} $

Тогда это попросту производная $\dfrac{dF}{dq}.$ Конечно, её можно проинтегрировать, и получить то, что нужно (не забыв про векторность). Но проблема в том, что саму эту производную не так-то просто найти! Так что, никакого упрощения от такого изменения задачи не получится.

-- 30.08.2016 21:33:15 --

На самом деле, делают так: берут полностью тот заряд, который вносится окончательно. Для этого заряда, вычисляют положение других зарядов - внешних, образующих поле. И тогда появляется возможность вычислить само поле. Окончательная сила будет равна $\vec{F}=q\vec{E}_{ext},$ где $\vec{E}_{ext}$ обозначает именно окончательную величину напряжённости, а не изначальную (при отсутствии внесённого заряда). Что это за величина? Напрямую её не измерить. Но можно (малыми пробными зарядами) измерить $\vec{E}_{tot}$ - полную напряжённость в присутствии внесённого заряда, и $\vec{E}_{prop}$ - напряжённость, созданную самим зарядом. Измерять их придётся не в самой точке, где располагается заряд (потому что он точечный, и напряжённость там будет бесконечная - а на практике какая-то левая), а немного рядом. Но это "рядом" можно выбрать так, чтобы $\vec{E}_{ext}$ на таких смещениях не изменялась как-то существенно. И далее, постулируется соотношение

$$\vec{E}_{tot}=\vec{E}_{ext}+\vec{E}_{prop}\quad\Rightarrow\quad\vec{E}_{ext}=\vec{E}_{tot}-\vec{E}_{prop}.$$