Детективный подход, как способ отыскания доказательства ВТФ

[ishhan]

ishhan в сообщении #1146785 писал(а):

$6^{6^n}+1 $ или $6^{6^n}-1 $

Пардон, дурацкая ошибка(((

[shwedka]

Я ошиблась. Имеется реконструкция переписки между ПФ и Френиклем по поводу совершенных чисел
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086091903714#
весьма интересное чтение.

[cmpamer]

shwedka

shwedka в сообщении #1146857 писал(а):

Вообще, ПФ еще неоднократно писал о гипотезе о простоте 'чисел Ферма' $2^{2^n}+1$,
в пиьмах Френиклю, авг. 1940, Паскалю, авг. 1954 Брункер и Валлису, июнь 1658.
Нигде он с полной уверенностью не писал, что доказательством обладает.

Выходит, Ферма как минимум в течение 18 лет проталкивал в массы свою ложную гипотезу о простоте чисел $2^{2^n}+1$? Это весьма ценную информацию Вы предоставили для расследования (если, конечно, опять не ошиблись). Хотелось бы ещё взглянуть хотя бы на одно из указанных писем.
Не смотря на отсутствие очевидной связи между ВТФ и историей с этой гипотезой - история эта действительно представляет интерес для текущей темы. Во-первых, потому, что косвенные связи имеются, а, во-вторых, потому, что заявленная (в заголовке темы) цель настоящего расследования - окольным путём найти (хотя бы подступиться) то самое доказательство ВТФ (либо надлежащим образом убедиться в том, что его не было) - изначально была поставлена немного шире: попытаться найти те знания, которыми владел Ферма и которыми до сих пор не владеем мы. И в этой связи Числа Ферма - очень востребованный материал для расследования.
Ведь если принять версию о том, что Ферма знал об ошибочности гипотезы (а "ошибался" он специально - чтобы поднять градус, возбудить таким приёмом интерес к тому, что имел сказать на самом деле по поводу этих чисел (либо похожих на них)); то, поскольку он так и не сказал ничего (что имел) - это автоматически становиться задачей следствия (сказать за него).
А не сказал он потому, что ему так и не удалось (как ни старался) возбудить интерес, поскольку никто из современников не удосужился опровергнуть его хилую гипотезу; т.е. решить чепуховую задачу по факторизации ПЧФ № 5. Лишь через сто лет Эйлер (чтобы мы без него делали?) сподобился на этот подвиг.
В стартовой записи я отмечал, что у меня имеются версии (предположения) того, что имел сказать Пьер Ферма про свои числа. Если расследование не заглохнет, то я их, разумеется, изложу. Но хотелось бы услышать версии и от кого-либо ещё.
А что до "корневой" версии (о том, что Ферма знал про непростоту своих "простых" чисел), то её и версией называть не стоит - факт-с. Да хоть взять те же "18 лет". Ну неужели кто-то может поверить, что такой человек, как Ферма целых 18 лет носился со своей "шальной гипотезой", и даже не удосужился проверить пятое ПЧФ на... Нет, не на простоту (это ж какая огромная работа, окажись гипотеза верной применительно к этому числу - перебрать 6,5 тысяч простых чисел), а, хотя бы, на ограниченность его факторизации максимум двумя множителями; т.е. перебрать (проверить в качестве возможных делителей) только те простые числа, которые не превышают кубический корень из ПЧФ № 5 (чуть более, чем 1500 (около 250 чисел)). Да за это время можно было десятое ПЧФ разложить на атомы, не то что найти делитель "641"!

[shwedka]

Цитата:

Хотелось бы ещё взглянуть хотя бы на одно из указанных писем.

Пожалуйста! Во втором томе Собрания сочинений.

а еще эти письма обсуждаются в интересной книге
17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry ,бы
Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, A. Solcova
Springer, 2002.

[Someone]

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

поскольку никто из современников не удосужился опровергнуть его хилую гипотезу; т.е. решить чепуховую задачу по факторизации ПЧФ № 5

Может быть, Вы совершите этот подвиг, и, используя в качестве вычислительного средства исключительно карандаш и бумагу, разложите на простые множители число $4\,294\,967\,321$ или $4\,294\,967\,317$? Отчитываться здесь не надо, проделайте это для себя. Чтобы не писать чушь. А то Вы очень легко распоряжаетесь личным временем Ферма и других математиков. У Ферма ведь не было оснований ожидать, что наименьший делитель окажется в пределах первой тысячи.

Кстати, то такое "ПЧФ"?

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

Лишь через сто лет Эйлер (чтобы мы без него делали?) сподобился на этот подвиг.

Эйлер доказал теорему: каждый делитель числа $F_n=2^{2^n}+1$ имеет вид $k\cdot 2^{n+1}+1$. И ему для нахождения делителя числа $F_5$ потребовалось проверить всего $10$ кандидатов. Впоследствии (в XIX столетии) Люка усилил эту теорему, показав, что при $n\geqslant 2$ делители имеют вид $k\cdot 2^{n+2}+1$, что вдвое сокращает объём вычислений. Так что "подвиг" Эйлера имеет серьёзное обоснование.

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

Ну неужели кто-то может поверить, что такой человек, как Ферма целых 18 лет носился со своей "шальной гипотезой", и даже не удосужился проверить пятое ПЧФ на... на ограниченность его факторизации максимум двумя множителями; т.е. перебрать (проверить в качестве возможных делителей) только те простые числа, которые не превышают кубический корень из ПЧФ № 5

А нафиг ему это было нужно? Его же интересовала простота, а не количество простых делителей.
Что касается проверки на простоту, то Ферма доказал теорему, которая называется малой теоремой Ферма: если $p$ — простое число, то для любого натурального числа $a$, не делящегося на $p$, число $a^{p-1}-1$ делится на $p$. Для $F_5$ нужно вычислить $a^{F_5-1}=a^{2^{32}}$ по модулю $F_5$. Если число $F_5$ простое, то при любом натуральном $a<F_5$ должна получаться $1$. Выглядит это страшно, но на самом деле здесь нужно всего лишь $32$ раза возвести в квадрат не более чем десятизначное число и найти остаток от деления на $F_5$. Если взять $a=3$, то в результате получится $3\,029\,026\,160\neq 1$, поэтому число $F_5$ не простое. Конечно, вычислений всё равно много, тем более, что их нужно тщательно проверять на наличие ошибок, но всё-таки не заоблачно много. За несколько часов можно управиться. Однако Ферма не взялся за эти вычисления.

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

Да за это время можно было десятое ПЧФ разложить на атомы

Да что Вы говорите! Попробуете? На бумажке, без компьютера? Механическим арифмометром можете пользоваться, хотя у Ферма его не было. И разложить именно "на атомы", то есть, требуется полное разложение на простые множители.

TR63 в сообщении #1147332 писал(а):

Рассмотрим числа, задаваемые формулой $2^{2^n}+1$, где (n) простые нечётные числа.

Неверно. У Ферма $n$ — любое неотрицательное целое число ($0,1,2,3,\ldots$).

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1147470 писал(а):

Может быть, Вы совершите этот подвиг, и, используя в качестве вычислительного средства исключительно карандаш и бумагу, разложите на простые множители число $4\,294\,967\,321$ или $4\,294\,967\,317$?

Это предложение заставляет вспомнить анекдот:
- Я есть из Англии и не хорошо знать русский язык. Как много есть "дочерта"?
- Это вот выходишь на рельсы и начинаешь шпалы считать. Когда дойдешь до состояния "да пошло оно все в болото" - так вот это только половина.

[cmpamer]

TR63
Спасибо за предложенную версию! Кажется, Вы второй участник этого обсуждения, от кого поступила конкретная версия по конкретному вопросу, входящему в область исследования.
Но должен признаться, что лично я так до конца и не усвоил (туповат, похоже) существа Вашей версии происхождения Гипотезы ферма. Не могли бы Вы в более популярном виде повторить её? Что это за смысл простоты? Что там с пятым ПЧФ (Ферма знал, что оно составное или нет)? И что за Контрпример, который Вам не встречался?
А удалять пост в любом случае не надо. Что за настроения? Хотя, о чём я спрашиваю - тут многие удаляют посты, не успев их дописать. Так что Вам ещё раз спасибо и удачи.

shwedka

shwedka в сообщении #1147402 писал(а):

Цитата:

Хотелось бы ещё взглянуть хотя бы на одно из указанных писем.

Пожалуйста! Во втором томе Собрания сочинений.

В томе? Опять под чьей-то редакцией? Так я вполне удовлетворён и Вашей редакцией. Я про оригинал спрашивал. Вы сами указывали, что там непонятки с обозначениями степеней и прочей "арифметической орфографией".

-- 30.08.2016, 02:00 --

Anton_Peplov

Anton_Peplov в сообщении #1147476 писал(а):

вот выходишь на рельсы и начинаешь шпалы считать.

Каждому своё.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1147476 писал(а):

Это предложение заставляет вспомнить анекдот:

Anton_Peplov в сообщении #1147476 писал(а):

Это предложение заставляет вспомнить анекдот:

Дык, cmpamer заявил, что

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

никто из современников не удосужился опровергнуть его хилую гипотезу; т.е. решить чепуховую задачу по факторизации ПЧФ № 5.

Вот попробовать бы ему это самому проделать.

Да не будет он ничего делать. Он даже в рекомендованную литературу заглянуть не желает. Не говоря уже о том, что до сих пор никаких разумных обоснований своих заявлений не привёл, ограничивается исключительно своим субъективным мнением.

[shwedka]

cmpamer в сообщении #1147477 писал(а):

Я про оригинал спрашивал

В указанном 2 томе ПСС ПФ, под редакцией Таннери, про каждое письмо указано,
где хранится оригинал. В большинстве случаев это архив Университета в Тулузе или городской архив.. Если хотите,открываете том с письмами, списываете адрес. Пишите в архив, попросите ксеру-- или Вам скажут, что документы такой важности только на месте через стекло смотреть можно.

[Sender]

Someone в сообщении #1147470 писал(а):

Что касается проверки на простоту, то Ферма доказал теорему, которая называется малой теоремой Ферма

Кстати, легко видеть, что все числа Ферма проходят тест Ферма по основанию $2$.

[Someone]

TR63 в сообщении #1147725 писал(а):

с помощью предложенного мною метода

Не вижу никакого метода, кроме

TR63 в сообщении #1147332 писал(а):

можно экстраполировать. Получается, что все остальные числа составные.

TR63 в сообщении #1147725 писал(а):

Вопрос: известно ли следующее простое число Ферма, кроме начальных пяти.

Нет.

TR63 в сообщении #1147725 писал(а):

Исправила опечатку в ссылке.

-- 30.08.2016, 10:23 --

Проверила. Работает.

Не работает. И никаких следов исправления не вижу.

cmpamer в сообщении #1147477 писал(а):

В томе? Опять под чьей-то редакцией?

Вы полагаете, что задача редактора — это исправлять публикуемый текст по своему усмотрению, вплоть до полного переписывания?

[Lia]

Часть оффтопа отделена «Экстраполяция непростоты вправо».

[Antoshka]

(Оффтоп)

А что будет, если рассматривать числа более общего вида: $2^m+1, m\in\mathbb{N}$? Какой вид имеют делители таких чисел?

[Sonic86]

(Antoshka)

Antoshka в сообщении #1148198 писал(а):

А что будет, если рассматривать числа более общего вида: $2^m+1, m\in\mathbb{N}$? Какой вид имеют делители таких чисел?

$2^m+1=\frac{2^{2m}-1}{2^m-1}$, дальше гуглим про круговые многочлены и раскладываем через них - это уже неплохо, а дальше - не особо.
А вообще - это вопрос для ПРР. А эта тема скорее мусорная, читать ее не стоит.

[cmpamer]

Говоря о результатах расследования на текущий момент, следует отметить практически полное их отсутствие, что, как известно, тоже результат, но, признаться - не слишком утешительный.
Впрочем, один результат определённо получен - это усиление и без того в должной мере обоснованного предположения о том, что Ферма знал про "непростоту" своих ПЧФ, однако настойчиво продолжал пропагандировать сомнительную гипотезу. Таким усилением стала информация, любезно предоставленная нам неутомимой shwedka:

shwedka в сообщении #1146857 писал(а):

Вообще, ПФ еще неоднократно писал о гипотезе о простоте 'чисел Ферма' $2^{2^n}+1$,в пиьмах Френиклю, авг. 1940, Паскалю, авг. 1954 Брункер и Валлису, июнь 1658.Нигде он с полной уверенностью не писал, что доказательством обладает.

И хотя некоторые участники расследования до сих пор продолжают придерживаться мнения, будто это предположение есть сущий вздор (и поэтому вообще не должно приниматься к рассмотрению), отсутствие у них хоть сколько-нибудь внятных аргументов лишь усиливает достоверность вышесказанного.
Однако дальнейшее обсуждение гипотезы ПЧФ сильно увело расследование в сторону (интерполировало вправо). Что ж, можно пока оставить в стороне выяснение истинной сущности гипотезы Ферма и довольствоваться лишь тем обстоятельством, что Ферма вполне мог выдвигать заведомо не соответствующие действительности утверждения для достижения тех или иных целей (т.е. как человек он был ещё более непростым, чем его числа).
Именно с этой позиции представляется разумным строить и отрабатывать версии, касающиеся знаменитого утверждения о неразрешимости диофантова уравнения $x^n+y^n=z^n$ при всяком натуральном n, большим двух. Хотя никто никого тут ни к чему не принуждает - лишь бы версии были повесомее (да и вообще - были).
И первой точкой ветвления для формирования указанных версий является вопрос - принадлежало ли это утверждение Ферма (в любой форме и при любых обстоятельствах), либо он ничего подобного никогда не заявлял? Таким образом, начальную часть нумерации всевозможных версий можно представить так: "1.1._____ " и "1.2._____ ". Где корневая версия "1.1.____ " - это положительный ответ на указанный вопрос, а "1.2._____ " - отрицательный. Тот факт, что начальная позиция данной нумерации инвариантна (равна единице), объясняется отсутствием каких-либо иных вариантов ответа на вопрос - было ли само это утверждение? - кроме положительного: да - было (в издании "Арифметики" 1670года).
Рассмотрение версий серии "1.2.____ " ни в коей мере не переиначит предмет расследования, но (надо признать) значительно его усложнит; так как одно дело, когда речь идёт о человеке (авторе ВТФ), о котором имеется хоть какое-то представление, другое - когда мы имеем дело с какой-то тенью.
При формировании версий от корня "1.1._____ " , следующей точкой ветвление разумно считать вариант ответа на вопрос - что послужило причиной для заявления Ферма о наличии у него доказательства ВТФ (наличие самого доказательства (корректного или не очень), либо это был очередной его трюк с "дезой")? Нумерология этого разветвления будет выглядеть так: "1.1.1.____ " и "1.1.2.____ " соответственно.
Дальнейшая нумерация ветвлений представляется проблематичной, так как среди вновь возникающих вопросов довольно сложно определить порядок первичности. Пожалуй, можно ещё раздвоить корень "1.1.1.____ " , положив "1.1.1.1.___ " - запись (самого Ферма) была и "1.1.1.2.___ " - записи не было (либо была привнесена извне).
Такое упорядочение версий вовсе не определяет (по крайней мере - в полной мере) порядок выяснения тех или иных вопросов, которые решаются (обсуждаются) исходя из имеющихся возможностей (по обстоятельствам). Тем не менее, для исполнения требования:

shwedka в сообщении #1146708 писал(а):

Так ставьте же первый вопрос.

необходимо обратиться к тем вопросам (из числа относящихся к делу), которые поднимались в ходе прошедшего обсуждения. Таких было немного, из которых вопрос о том - была ли та запись на полях или нет? - кажется, в большей степени интересовал интересовавшихся. Пусть это и будет первым вопросом, если такая определённость необходима. Но прежде чем подступиться к этому вопросу, необходимо получить уяснение по другому (хоть и близкому) - откуда взялась дата появления этой самой записи -1637 год (или около того)? Т.е. необходимо выявить первоисточник этой информации, после чего можно будет давать оценку на предмет её достоверности (а заодно - и получение ответа на первый вопрос). Это вопрос поднимался уже, но уважаемая shwedka в этой части сотрудничать со следствием наотрез отказалась.
Также представляется целесообразным в порядке сбора общей информации составить максимально полный список тех доказательств, которые Ферма "не поленился" исполнить нормальным образом, а не только в виде "афиш". Ведь даже так им любимая теорема о представлении любого простого числа с более чем единичной степенью нечётности в виде суммы квадратов двух целых чисел так и осталась "сиротой бездоказательной" (или нет?). Да и с МТФ - темнилово сполшное...