Измерения в квантовой механике

[Viktor92]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102377 писал(а):

А пытаться сформулировать себе какие-то обобщённые схемы и сделать абстрактные выводы о КМ и о её связи с экспериментом только лишь из содержания первых страниц учебника (либо прыгая по отдельным формулировкам на страницах разных книжек) не следует. Необходимо систематически разбирать задачи параллельно с систематическим чтением учебника.

Я ни в коем случае и не хочу долго задерживаться на обобщениях, просто поначалу для меня важно было вникнуть в терминологию,тем более в разных учебниках она несколько разнится, а заглядывать придётся во многие, как это обычно бывает , вот теперь буду переходить к задачам.
Спасибо Вам за набросок схемы изучения, буду придерживаться её!

[zer0]

фон Нейман. "Математические основы квантовой механики". Для людей с определенным складом ума очень полезная книга.

[Viktor92]

Читаю сейчас Киселёва, собираюсь всерьез наконец браться за квант. мех. Возникло несколько вопросов:
1. Пусть имеем разложение фолновой функции, по каким-либо собственным функциям $\Psi(x)=\sum\limits_{i}^{}c_iu_i(x)$, я так понимаю в формализме Дирака это запишется $\left\lvert \Psi \right\rangle=\sum\limits_{i}^{}c_i\left\lvert i \right\rangle$, т.о. вектор состояния $\left\lvert \Psi \right\rangle=(c_1 c_2 ...c_k...)^T$, т.е. набор коэффициентов $c_i=\left\langle i \left\lvert \Psi\right\rangle$, они и называются представлением вектора состояния в соответствующем базисе собственных функций. Вопрос заключается в следующем, мне помниться , что $\Psi(x)=\left\langle x\left\lvert \Psi \right\rangle$, т.е. волновая функция суть проекция вектора состояния на базисный вектор, но в примере выше - это не работает, там такое выражение даёт всего один коэффициент $c_i=\left\langle i \left\lvert \Psi\right\rangle$, т.о. правильно ли я понял , что
$\Psi(x)=\left\langle x\left\lvert \Psi \right\rangle$ справедливо только в координатном представлении, где базисные вектора суть $\left\lvert x \right\rangle =\delta(x-x')$?
2.У Киселева пару слов написано (на стр.12 в 1 лекции) о неверном отождествлении амплитуды вероятности и волн материи (я так понимаю волн де Бройля), что такое отождествление справедливо только в классическом пределе, мог бы кто нибудь пояснить в чём различие, я что-то не улавливаю и что такое классический предел, когда много частиц?
3. Из за того , что наблюдаемой является только плотность вероятности, то амплитуды вероятности отличающиеся фазовым множителем отождествляются и говорят что наблюдаемые не сами вектора состояний, а лучи, как представить себе этот геометрический образ?
И ещё, можете посоветовать какой нибудь задачник по квантмеху, хотя я думаю нам лектор скоро сам скажет какой, но всё же на преподавателя надейся , а сам не плошай)

[amon]

Viktor92 в сообщении #1146769 писал(а):

$\Psi(x)=\sum\limits_{i}^{}c_iu_i(x)$, я так понимаю в формализме Дирака это запишется $\left\lvert \Psi \right\rangle=\sum\limits_{i}^{}c_i\left\lvert i \right\rangle$

Это верно.

Viktor92 в сообщении #1146769 писал(а):

$\Psi(x)=\left\langle x\left\lvert\Psi \right\rangle$, т.е. волновая функция суть проекция вектора состояния на базисный вектор, но в примере выше - это не работает

Еще как работает. $\left\lvert \Psi \right\rangle=\sum\limits_{i}^{}c_i\left\lvert i \right\rangle\Rightarrow\langle x|\Psi \rangle=\sum\limits_{i}^{}c_i\langle x \lvert i \rangle\Rightarrow\Psi(x)=\sum\limits_{i}^{}c_iu_i(x)$

Вы линейную алгебру хорошо знаете? Если не очень, то откройте какого-нибудь Гельфанда, "Лекции по линейной алгебре" и попробуйте их в параллель с Киселевым.

[Metford]

Viktor92 в сообщении #1146769 писал(а):

И ещё, можете посоветовать какой нибудь задачник по квантмеху, хотя я думаю нам лектор скоро сам скажет какой, но всё же на преподавателя надейся , а сам не плошай)

Сразу в голову приходят две книги:
Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. - Задачи по квантовой механике
Флюгге З. - Задачи по квантовой механике

И то, и другое в двух томах.

Viktor92 в сообщении #1146769 писал(а):

Из за того , что наблюдаемой является только плотность вероятности, то амплитуды вероятности отличающиеся фазовым множителем отождествляются и говорят что наблюдаемые не сами вектора состояний, а лучи, как представить себе этот геометрический образ?

Только не нужно смешивать волновую функцию и наблюдаемые.
Имеется в виду, что волновая функция, если её умножить на величину вида $e^{i\alpha}, \alpha\in \mathbb{R}$, физически будет описывать то же самое. "Луч" тут в несколько обобщённом смысле, чтобы его прямо геометрически представлять себе. Здесь есть некоторая аналогия с векторной алгеброй. Вот представьте себе, что Вы вектор (обычный без всяких премудростей) умножаете на число - вещественное для простоты. Что с ним происходит?
А тут у Вас гильбертово пространство, это разновидность линейных пространств, на которые переносится практически вся терминология, применяемая к геометрическим векторам - тоже элементам (другого) линейного пространства.

[Viktor92]

amon в сообщении #1146779 писал(а):

Еще как работает. $\left\lvert \Psi \right\rangle=\sum\limits_{i}^{}c_i\left\lvert i \right\rangle\Rightarrow\langle x|\Psi \rangle=\sum\limits_{i}^{}c_i\langle x \lvert i \rangle\Rightarrow\Psi(x)=\sum\limits_{i}^{}c_iu_i(x)$

Не очень понял, в первом случае базисные векторы представления: $\left\lvert i \right\rangle=u_i(x)$, и коэффициенты ищутся по формуле
$c_i = \left\langle i \left\lvert \Psi \right\rangle=\int\limits_{}^{} u_i^*(x)\Psi(x)dx$,
или тут можно говорить о представлении базисных векторов $\left\lvert i \right\rangle=u_i(x)$ в координатном представлении $ u_i(x)=\left\langle x \left\lvert i\right\rangle$ и писать как вы?.

Metford в сообщении #1146781 писал(а):

Здесь есть некоторая аналогия с векторной алгеброй. Вот представьте себе, что Вы вектор (обычный без всяких премудростей) умножаете на число - вещественное для простоты. Что с ним происходит?

Спасибо, очень помогли!

[amon]

Viktor92 в сообщении #1146782 писал(а):

$\left\lvert i \right\rangle=u_i(x)$

Я не зря про линейную алгебру спросил. Здесь все почти как там, только пространство бесконечномерное. Пусть у Вас есть полный набор векторов $\vec{u}_i$ тогда любой вектор $\vec{\Psi}$ можно записать как $\vec{\Psi}=\sum_i c_i \vec{u}_i$. тогда в базисе $\vec{x}_k$ координатное представление вектора $\vec{\Psi}$ будет иметь вид $\Psi_k=\langle\vec{x}_k|\vec{\Psi}\rangle=\sum_i c_i \langle\vec{x}_k|\vec{u}_i\rangle$. Символом $\langle|\rangle$ обозначено обычное скалярное произведение. Аналогию улавливаете?

[Metford]

Viktor92, смотрите. Вот есть у Вас в конечномерном пространстве базис $\{e_k\}$ ортонормированный. Что это значит? Что скалярный квадрат каждого базисного вектора равен единице, а скалярное произведение различных базисных векторов равно нулю $(e_i,e_k)=\delta_{ik}$. Базис по определению предполагает возможность разложить по нему любой вектор пространства:

$$x=\sum_kc_ke_k.$$

Индексы верхние-нижние не различаю, не в них сейчас суть. Что Вы должны сделать, чтобы выделить коэффициент разложения $c_m$? Умножить обе части на базисный вектор $e_m$, потому в правой части всё лишнее выпадет:

$$(x,e_m)=\sum_kc_k\delta_{km}=c_m.$$

А теперь переносим всё это на почву гильбертова пространства. В чём принципиальная разница: это пространство бесконечномерное, что требует определённых обоснований, давно-давно сделанных математиками (за что им огромное спасибо). А ещё есть особенность во введении скалярного произведения, связанная с необходимостью работать с комплексными функциями. А именно, скалярное произведение не билинейная форма, а чуть похуже (иногда говорят "полуторалинейная", не всем нравится): у неё из первого сомножителя постоянный множитель выносится с комплексным сопряжением. Обычные линейные функции так себя не ведут. Заметьте: это пока не касается именно гильбертова пространства - любого, имеющего дела с "комплексностями".

Дальше конкретизируем, что скалярное произведение подразумевает интеграл от произведения сомножителей, в котором первый комплексно сопряжённый - чтобы "полуторалинейность" была. Обозначение вектора заменяем на дираковский кет-вектор - и выписаные мной выше формулы превращаются в те, о которых Вы говорите.

[Viktor92]

amon в сообщении #1146786 писал(а):

Символом $\langle|\rangle$ обозначено обычное скалярное произведение. Аналогию улавливаете?

Я так понял, это как найти новые координаты обычного вектора в новом базисе, т.е. по сути переход между представлениями $\left\lvert i \right\rangle$ и $\left\lvert x \right\rangle$

[Munin]

amon в сообщении #1146786 писал(а):

Я не зря про линейную алгебру спросил. Здесь все почти как там, только пространство бесконечномерное.

А в некоторых случаях даже конечномерное. Например, можно взять атом, и наплевать на ионизированные и сильновозбуждённые состояния.

[amon]

Viktor92 в сообщении #1146793 писал(а):

Я так понял, это как найти новые координаты обычного вектора в новом базисе, т.е. по сути переход между представлениями $\left\lvert i \right\rangle$ и $\left\lvert x \right\rangle$

Есть две операции - разложение вектора по полному набору векторов (результат - вектор) и разложение вектора по базису (нахождение координат, результат - число). В Вашем случае сначала применена первая операция, а потом (для базиса, отличного от набора, по которому раскладывали в первый раз), вторая. По дороге возникла некая специфика бесконечномерности, но на нее пока рекомендуется забить.

[Viktor92]

А как понимать такие манипуляции у Киселева, почему он выносит оператор таким образом?

$$ \left\langle q \left\lvert \hat{H} \left\lvert\Psi\right\rangle = \hat{H_q} \left\langle q \left\lvert \Psi \right\rangle= \hat{H_q} \Psi(q)$$

P.S. извиняюсь за обозначения, что-то скобочки разной высоты получаются...

[Munin]

(Оффтоп)

А вы вообще не используйте \left и \right, они для другого предназначены.

[arseniiv]

(Скобки)

Так они же почти все левые и не согласованные там.
Можно попробовать вот так: $\left\langle q\middle| \hat H\middle| \Psi\right\rangle$ (\middle — супер!), но тут авторазмеры явно дают плохой результат — слишком большие, а виной один лишь \hat.
Можно так (без авторегулировки высоты): $\langle q|\hat H|\Psi\rangle$ или $\langle q\lvert\hat H\rvert\Psi\rangle$ или $\langle q\rvert\hat H\lvert\Psi\rangle$ (вполне нормальный размер).
Или с ручной регулировкой, но я не помню соответствующие команды, да и нечто среднее между двумя отображёнными тут размерами, вроде, получить в три слова затруднительно.

[Metford]

Viktor92 в сообщении #1146849 писал(а):

А как понимать такие манипуляции у Киселева, почему он выносит оператор таким образом?

Вы не могли бы назвать место, где Вам это встретилось? Хочется прежде в саму книгу заглянуть.