Напряжённость электрического поля распределённого заряда

[USAglobal]

Ну что вы, какого слова я могу ждать? Предел это моё любимое слово.

Просто меня много лет мучил один вопрос.

Вот, например, возьмём плотность вещества. Иногда (часто) люди говорят, что плотность вещества - это количество вещества в одном метре кубическом. Можно перефразировать, сказав, что это количество килограм в одном кубическом метре.

Но так ли это? Мне кажется, что данные люди ошибаются. Ибо количество вещества - это масса. А плотность, кая я её понимаю, это число, показывающее во сколько раз масса больше (меньше) объема. Это их соотношение, в вовсе не масса в единице объема.

Даже если плотность постоянна, то масса единицы объема это плотность, умноженная на единицу объема. Хотя численно плотность совпадёт с массой.
Я прав?

[Metford]

USAglobal в сообщении #1146770 писал(а):

Иногда (часто) люди говорят, что плотность вещества - это количество вещества в одном метре кубическом. Можно перефразировать, сказав, что это количество килограм в одном кубическом метре.

Это не "перефразировать"! Первый вариант - это просто не то. Количество вещества нельзя отождествлять с массой!

USAglobal в сообщении #1146770 писал(а):

число, показывающее во сколько раз масса больше (меньше) объема

Страшная фраза типа "во сколько раз кислое краснее, чем круглое". Если будет лучше от этого, плотность можно рассматривать как коэффициент пропорциональности между массой и объёмом, который занимает эта масса при условии равномерного распределения массы в этом объёме.

USAglobal в сообщении #1146770 писал(а):

если плотность постоянна, то масса единицы объема это плотность, умноженная на единицу объема

Так можно, но всё-таки таких формулировок лучше избегать. Вы же математикой нужной уже владеете. Так напишите, что масса вещества $dm$ в объёма $dV$ есть $\rho dV$. И никаких комментариев не нужно или предположений о постоянстве плотности. Единственное уточнение, что есть понятие физически малого объёма, т.е. в котором ещё достаточно много частиц - чтобы на дискретный уровень переходить не пришлось.

[Munin]

Ну конечно, есть количество вещества (в молях) и масса (в килограммах). И соответственно, две разные плотности (моль на кубометр и килограмм на кубометр). Но эти уточнения уже нешкольного уровня.

Тут надо скорее всё-таки акцентировать внимание на том, что все "наивные" формулировки про "массу в одном кубическом метре" - они на самом деле неправильные. Везде подразумевается не $m/V,$ а

$$\dfrac{dm}{dV}=\lim\limits_{V\to 0}\dfrac{m}{V}.$$

Например, можно рассмотреть такую величину, как плотность человека. Но кубометр человека не бывает! Объём тела человека всегда меньше кубометра. (Вопрос на эрудицию: а какова типичная величина объёма человека?)

Кроме того, тут есть такой тонкий момент, что этот предел не стоит понимать слишком строго математически. Если мы возьмём объём меньше объёма атома, то получим, например, нулевую массу. И что толку в такой цифре? Надо взять какой-то такой объём, что на масштабе этого объёма плотность будет равномерна.

USAglobal в сообщении #1146770 писал(а):

Даже если плотность постоянна, то масса единицы объема это плотность, умноженная на единицу объема. Хотя численно плотность совпадёт с массой.
Я прав?

Правы.

[Metford]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1146806 писал(а):

Но кубометр человека не бывает!

Хорошего должно быть много! Но фраза хороша.

[USAglobal]

Объем человека, наверное, где-то литров десять составляет. Это я прикинул насчет того, сколько воды из ванной выльется, если человек в неё залезет. А ванная до краев полна.

Кстати, меня спрашивали насчет интегрирования, чтобы получить силу, действующую на единичный заряд.

Это я вот, как придумал: берем предел отношения силы к заряду (при заряде к нулю), умножаем на $dq$ и интегрируем от нуля до 1. Получаем силу, действующую на единичный заряд.

А потом этот интеграл интегрируем по пути внутри электрического поля и получаем работу по перемещению единичного заряда)

[Pphantom]

(Оффтоп)

USAglobal в сообщении #1146876 писал(а):

Объем человека, наверное, где-то литров десять составляет.

Плотность воды вспомните. И то, что плотность человеческого тела к ней весьма близка.

[Metford]

USAglobal в сообщении #1146876 писал(а):

Это я вот, как придумал: берем предел отношения силы к заряду (при заряде к нулю), умножаем на $dq$ и интегрируем от нуля до 1. Получаем силу, действующую на единичный заряд.

Я бы так не придумал
Понимаете, при грамотном обращении с определениями все эти "единичные заряды" как-то не особенно нужны становятся - и тем более не стоят подобных конструкций. На практике бывает два случая: имеются вполне конкретные заряды, которые можно считать точечными. Для них спокойно применяется формула, с которой разговор начался. Второй случай: имеется непрерывное распределение зарядов (точнее, мы его считаем таковым, исходя из условий задачи). Тогда $d\vec{F}=\vec{E}\cdot dq=\vec{E}\cdot\rho dV$, где $\rho$ - объёмная плотность заряда (может быть поверхностная или линейная - в зависимости от того, где заряд распределён). Т.е., как видите, формула работает вполне конкретная. А происхождение предела в определении напряжённости уже выше объясняли.

USAglobal в сообщении #1146876 писал(а):

А потом этот интеграл интегрируем по пути внутри электрического поля и получаем работу по перемещению единичного заряда)

Это, наверное, пока рановато - "интеграл-то проинтегрировать" Вы сможете. Нужно понимание того, откуда он берётся и для чего нужен.

[amon]

(Оффтоп)

USAglobal в сообщении #1146876 писал(а):

Объем человека, наверное, где-то литров десять составляет.

То есть можно не волноваться. В случае атомной войны в ведре мы легко прячемся.

[warlock66613]

USAglobal в сообщении #1146876 писал(а):

Объем человека, наверное, где-то литров десять составляет. Это я прикинул насчет того, сколько воды из ванной выльется, если человек в неё залезет. А ванная до краев полна.

Попробуйте через плотность. Плотность человека несложно угадать, если немножко подумать.

[USAglobal]

Цитата:

Это, наверное, пока рановато - "интеграл-то проинтегрировать" Вы сможете. Нужно понимание того, откуда он берётся и для чего нужен.

Это я до напряжёния дошёл

Они для расчёта напряжения берут упрощённое выражение для напряжённости $\frac{F}{q}$ и интегрируют по пути. Получается - работа по перемещению единичного заряда.

А меня заинтересовал вопрос. Если в этот интеграл подставить не упрощённое, а строгое выражение для напряжённости (через предел), то работа (напряжёние) чуть другой получится.

Может быть, последнее значение тоже можно принять за работу по перемещению единичного заряда?

[Metford]

USAglobal в сообщении #1146901 писал(а):

Это я до напряжёния дошёл

Двусмысленная фраза...

USAglobal в сообщении #1146901 писал(а):

Если в этот интеграл подставить не упрощённое, а строгое выражение для напряжённости (через предел), то работа (напряжёние) чуть другой получится.

Напишите, пожалуйста. Пока что у меня плохо получается угадывать.

[USAglobal]

завтра) спокойной ночи

[USAglobal]

Значит, вот, что я удумал насчет напряжения и интегралов.

Согласно общепринятому выражению для напряжения оно равно:
$U=\int\limits_{a}^{b}E dl $. При этом $$E=\frac{F}{q}$.
Получается некая средняя напряжённость $E$ на единицу заряда. Её интегрируют по пути и вуаля: имеем напряжение, которое равно работе по переносу единичного заряда. Ну это общеизвестно.

А если мы в качестве напряжённости возьмем $E=$$\lim\limits_{q\to0}^{}\frac{F}{q}$$$, то тогда напряжение получится

$$$U=\int\limits_{a}^{b}$ $\frac{dF}{dq} dl $$$$$

То что это получится? Некая способность поля противодействовать перемещению заряда на данной длине? Его энергия? Только не для единичного заряда, а как бы вообще без заряда, чисто характеристика поля?

Тогда получается, что, умножая, это напряжение на величину заряда, мы получаем работу по перемещению этого заряда. Но получаем с ошибкой, ибо мы не учли зависимости силы, действующей на заряд, от его величины. Так ли это?

Если так, то правильное выражение для работы по перемещению любого заряда будет такое:
$A=$$\int\limits_{a}^{b} \int\limits_{0}^{Q}\frac{dF}{dq_0} dq dl $$$ или, если не ошибаюсь, то это то же самое, что и

$$$A=\int\limits_{a}^{b}Fdl$$$

$dq_0$- дифференциал заряда в точке 0.

[Metford]

USAglobal в сообщении #1146974 писал(а):

Согласно общепринятому выражению для напряжения оно равно:
$U=\int\limits_{a}^{b}E dl $.

На самом деле

$$\int\limits\vec{E} d\vec{l}.$$

USAglobal в сообщении #1146974 писал(а):

напряжение, которое равно работе по переносу единичного заряда. Ну это общеизвестно.

Напряжение не равно работе! У них даже размерности разные!

Мда... Дело-то вот как обстоит. Есть определение работы силы

$$A=\int\limits_1^2\vec{F} d\vec{l}.$$

Сила, действующая со стороны поля на точечный заряд $q$, есть $q\vec{E}$. Напряжённость поля - функция точки. При составлении интегральной суммы приближённо принимается, что на маленьком (но конечном) кусочке траектории поле одно и то же. Но потом, когда берётся предел интегральной суммы, то получается как раз то, что нужно, приближение исчезает. Ну, обычная процедура составления криволинейного интеграла второго рода.

$$A=q\int\limits_1^2\vec{E} d\vec{l}.$$

USAglobal в сообщении #1146974 писал(а):

Тогда получается, что, умножая, это напряжение на величину заряда, мы получаем работу по перемещению этого заряда. Но получаем с ошибкой, ибо мы не учли зависимости силы, действующей на заряд, от его величины.

В определении напряжённости фигурирует пробный заряд, от которого по определению никакой зависимости быть не может: на то он и пробный, чтобы не влиять на конфигурацию поля. А перетаскиваемый заряд какой есть - такой есть.

USAglobal в сообщении #1146974 писал(а):

$dq_0$- дифференциал заряда в точке 0.

Этого просто не понял.

[USAglobal]

Цитата:

Напряжение не равно работе! У них даже размерности разные!

У меня сказано "...работе по переносу единичного заряда...". Да, размерности разные, но численно они в этом случае равны (для единичного заряда). В очень многих книгах напряжёние именно так и трактуется. Не понимаю: что здесь не так.
Или авторы не совсем грамотно употребляют слова?

Metford в сообщении #1146984 писал(а):

В определении напряжённости фигурирует пробный заряд, от которого по определению никакой зависимости быть не может: на то он и пробный, чтобы не влиять на конфигурацию поля. А перетаскиваемый заряд какой есть - такой есть.

Так вот, когда мы перетаскиваем заряд такой, какой он на самом деле есть, мы же не учитываем, что напряжённость-то уже не совсем такая будет, как для пробного заряда. Она изменится чуть-чуть. Так я понимаю. Поэтому я написал, что мы считаем напряжённость через предел при заряде стремящемся к нулю и получаем напряжённость при пробном заряде.
А потом, чтобы получить силу для нашего реального заряда надо эту нашу напряжённость проинтегрировать по по заряду при увеличении заряда с нуля до нашего значения. Величина напряжённости при этом будет меняться с ростом заряда (при интегрировании). В результате получим силу, действующую на заряд.

Вот, попробуйте поймите меня