Периодические силы в механических системах

[maked0n]

Приветствую всех в этой теме и прошу помочь в следующем вопросе. Вот пример задач:
Задача 1. Грузы с заданными массами, подвешенные на невесомых пружинах с заданными жесткостями, могут двигаться по вартикали. К нижнему грузу приложена вертикальная сила $f(t) = A\sin{pt}$. Найти движение системы в окрестности устойчивого положения равновесия.
Задача 2. Система состоит из однородного диска заданной массы, к оси которого на невесомом стержне известной длины подвешен маятник той же массы. Ось диска соединена пружиной известной жесткости с неподвижной стенкой. Диск может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. К оси диска приложена периодическая сила $f(t) = A\sin{pt}$. Параметры системы удовлетворяют соотношению $mg = cl$. Найти движение системы, считая отклонения от положения равновесия малыми.
Фотографии условий вместе с рисунками.
Подскажите пожалуйста, как обращаться с этими силами, которые даны в условии. Обычно нужно интегрировать по радиус-вектору и таким образом находить сосавляющую потенциальной энергии. То есть, что-то такое (в первой задаче направим ось $x$ вверх):

$$\int\limits_{0}^{x}A\sin{pt}dx = Ax\sin{pt} = E_p$$

Но здесь меня смущает периодический характер сил...
В известных мне книгах не разобрано подобных примеров

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Metford]

Не знаю, какой уровень предполагается у решающего, но, скажем, в первой задаче есть большой соблазн просто функцию Лагранжа писать - а дальше смотреть, что там уравнения движения дадут.

[maked0n]

Metford в сообщении #1146632 писал(а):

Не знаю, какой уровень предполагается у решающего, но, скажем, в первой задаче есть большой соблазн просто функцию Лагранжа писать - а дальше смотреть, что там уравнения движения дадут.

Так для функции Лагранжа же нужно найти кинетическую и потенциальную энергии системы (ну по крайней мере нас так учили).

[Metford]

maked0n в сообщении #1146634 писал(а):

Так для функции Лагранжа же нужно найти кинетическую и потенциальную энергии системы (ну по крайней мере нас так учили).

Значит, всё-таки учили, хорошо. Тогда попробуйте заглянуть в книгу Барбашова Т.Ф., Кугушев Е.И., Попова Т.В. - Теоретическая механика в задачах. Если я правильно помню, там подобные вещи есть.

[maked0n]

Metford в сообщении #1146644 писал(а):

Значит, всё-таки учили, хорошо. Тогда попробуйте заглянуть в книгу Барбашова Т.Ф., Кугушев Е.И., Попова Т.В. - Теоретическая механика в задачах. Если я правильно помню, там подобные вещи есть.

Уже заглядывал В этой книге прекрасные примеры, благодаря которым я смог разобраться со многими вещами, но в данном конкретном случае она мне, увы, не помогла. Я никак не могу понять, как сила из условия должна быть учтена в потенциальной энергии.

[Metford]

Хм, Ваша правда, там этого почему-то нет... Ладно, тряхнём стариной.

В общем, в таких случаях вынуждающие силы вводятся в уравнения Лагранжа под названием или обобщённых, или возмущающих сил - от учебника зависит. Выглядит это так:

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}+Q_i=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}.$$

$Q_i$ - это и есть обобщённые силы. В данном случае - обычная вынуждающая сила с гармоническим законом изменения. Потенциальную энергию пишете так, словно этих дополнительных сил и нет вовсе.
Подробности в книге Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. - Теоретическая механика в примерах и задачах. (Том 3. Специальные главы механики). Специально посмотрел - там есть! Глава 18, параграф 6. Приятного аппетита чтения!

[maked0n]

Цитата:

Подробности в книге Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. - Теоретическая механика в примерах и задачах. (Том 3. Специальные главы механики).

Спасибо, то что надо!