Мощность множества иррациональных чисел

[Vikulyarus]

Помогите доказать, что мощность множества иррациональных чисел - континуум.

[luitzen]

Какова мощность множества действительных чисел? Какова мощность множества рациональных чисел? Можно ли, обладая такой информацией, сделать выводы о мощности множества иррациональных чисел?

[Vikulyarus]

Множество рациональных чисел счетное, мощность действительных чисел равна континуум!

[RIP]

Vikulyarus
Используйте то, что если множество $A$ бесконечно, а $B$ - не более чем счётно, то множества $A$ и $A\cup B$ равномощны.

[Echo-Off]

[joking]
Вот придёт сюда Давидюк и покажет вам, еритикам! Ишь ты, множество иррациональных чисел континуально!
[/joking]

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Vikulyarus
Используйте то, что если множество $A$ бесконечно, а $B$ - не более чем счётно, то множества $A$ и $A\cup B$ равномощны.

Более общее утверждение выглядит так: если хотя бы одно из множеств $A$, $B$ бесконечно, то $|A \cup B| = \max \{ |A|, |B| \}$.

[Dan B-Yallay]

Vikulyarus писал(а):

Помогите доказать, что мощность множества иррациональных чисел - континуум.

А что, уже доказали что несчетность и континуум - одно и то же?

[Brukvalub]

Dan B-Yallay писал(а):

А что, уже доказали что несчетность и континуум - одно и то же?

Уже лет 40, как разобрались, что утверждение об отсутствии между континуумом и счетностью промежуточных мощностей можно считать аксиомой, которая не зависит от других аксиом аксиоматической теории множеств.

[worm2]

Но, вроде бы, к рассматриваемой задаче этот вопрос не имеет отношения?
Никто не спорит, что множество вещественных чисел равномощно множеству иррациональных?

[Профессор Снэйп]

Ох...

То, что бесконечных мощностей очень много, есть неоспоримый факт, никак не зависящий от континуум-гипотезы. К примеру, множество $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ всех подмножеств действительной прямой имеет мощность больше континуума. Множество $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ имеет ещё большую мощность. И так далее.

Заблуждение, гласящее, что каждое несчётное бесконечное множество имеет мощность континуум, к сожалению, широко распространено. И не знаю, где как, а у нас студенту-первокурснику даже за намёк на подобное на экзамене намедленно ставится двойка. В частности, вопросы, подобные

Dan B-Yallay писал(а):

А что, уже доказали что несчетность и континуум - одно и то же?

раскручиваются, и если выясняется, что студент думает, будто это есть открытая проблема или недоказуемое утверждение, то он немедленно отправляется на пересдачу.

[luitzen]

А что, если попытаться запустить диагональную процедуру для доказательства несчётности множества иррациональных чисел (на отрезке)? Что бы такое интересное писать на этой диагонали, чтобы получающееся число было точно иррациональным

[Профессор Снэйп]

luitzen писал(а):

А что, если попытаться запустить диагональную процедуру для доказательства несчётности множества иррациональных чисел (на отрезке)? Что бы такое интересное писать на этой диагонали, чтобы получающееся число было точно иррациональным

Можно, конечно. Если записывать числа с десятичной системе, то можно одновременно и строить число, не входящее в нумерацию, и портить периодичность. С двоичной системой тоже проблем нет: за невходимость в нумерацию отвечают разряды с чётными номерами, за отсутствие периодичности --- разряды с нечётными номерами.

Можно и континуальность в явном виде доказать, тоже не проблема.

Только зачем всё это? Есть же замечательная формула: если $A$ бесконечно и $|B| < |A|$, то $|A \setminus B| = |A|$. Или автор темы таких формул не проходил? Ну пусть он тогда скажет об этом, после чего и будем голову ломать, как решать задачу с помощью палки и куска верёвки.

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Или автор темы таких формул не проходил? Ну пусть он тогда скажет об этом, после чего и будем голову ломать, как решать задачу с помощью палки и куска верёвки.

В таком случае я бы предложил заменить палку на кусок мыла.

[Azog]

(Оффтоп)

к слову, профессор, я знаю студента мех-мат МГУ 3-го курса который не знает что такое континум, более того утверждает что ему в курсе м.а. про это понятие не рассказывали.. Мда.. Вот так вот =)

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Azog писал(а):

к слову, профессор, я знаю студента мех-мат МГУ 3-го курса который не знает что такое континум, более того утверждает что ему в курсе м.а. про это понятие не рассказывали.. Мда.. Вот так вот =)

Печально всё это. Я вот как-то тоже наблюдал студента 3-го курса ММФ, который не мог сформулировать определение предела последовательности.

P. S. Кстати, что-то автор темы больше здесь не появляется. Наверное, не нужно ему стало решение.