2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 гипотеза о продолжении ряда
Сообщение17.08.2016, 20:44 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в утверждении:
$$\zeta(\sigma)=\begin{cases}
\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{\left\lfloor n^{1-\sigma}\right\rfloor}}{n}&\text{если $\sigma<1$}\\
\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{\sigma}},&\text{если $\sigma>1$}
\end{cases}$$
где $\zeta$ - дзета-функция Римана.
В области, примыкающей к единице слева, сумма ряда стремится к $-\infty$, что хорошо, но как там в других точках (даже целых) мне неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.08.2016, 21:43 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Неинформативный заголовок,
- Отсутствует предмет обсуждения,
- Вы это утверждаете или Вы об этом спрашиваете?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.08.2016, 09:18 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение19.08.2016, 15:12 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
bayak
А откуда взялась верхняя формула?
bayak в сообщении #1144824 писал(а):
сумма ряда стремится к $-\infty$, что хорошо,

Разве? И чем это мобыть хорошо????
Для $\sigma \in (0,1)$ ряд сходится (в задачнике Демидовича есть этот пример для $\sigma =\frac{1}{2}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 18:06 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill, формула взялась из головы, а под "хорошестью" имелось в виду совпадение суммы ряда слева от единицы с асимптотическим поведением дзета-функции Римана. А как там в задачнике предлагается решать эту задачу? Или может подскажете на какой странице задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
bayak в сообщении #1145985 писал(а):
Или может подскажете на какой странице задача?

Задача №№2672, 2687 (более общий случай) (стр. 262, 263, 13 издание, 1997)

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 18:33 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Metford, спасибо. Посмотрел, но там просят исследовать на сходимость, а хотелось бы найти сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 19:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
bayak
Сходимость: надо сложить куски ряда с одним знаком. Для $\sigma = \frac{1}{2}$: это отрезок гармонического ряда от $n^2$ до $(n+1)^2$, его сумма примерно равна $\ln((n+1)^2) - \ln(n^2) \sim \frac{2}{n}$. Далее - по Лейбницу.
Однако явно сосчитать сумму - будет весьма затруднительно.
И вообще, вызывает серьезные сомнения непрерывная зависимость Вашей суммы от параметра $\sigma$. Скажем, в той же точке $\sigma = \frac{1}{2}$: вроде бы, предел слева - не равен тому, чего надо....

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 19:32 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1145990 писал(а):
bayak
Сходимость: надо сложить куски ряда с одним знаком. Для $\sigma = \frac{1}{2}$: это отрезок гармонического ряда от $n^2$ до $(n+1)^2$
Уже тут не понял. Как четность целой части $\sqrt{n}$ связана с указанным интервалом? Хотя нет, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 20:42 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
У меня получается, что в данном частном случае ($\sigma=\frac{1}{2}$) сумма равна сумме: $$\sum\limits_{1}^{\infty}2\ln\frac{4n^2-1}{4n^2}$$
которую наверно уже можно вычислить.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 21:42 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Однако это приблизительная сумма. Точное значение равно сумме:
$$\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum\limits_{(2n)^2}^{(2n+1)^2-1}\frac{1}{k}-\sum\limits_{(2n-1)^2}^{(2n)^2-1}\frac{1}{k}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 22:58 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
DeBill в сообщении #1145990 писал(а):
предел слева - не равен тому, чего надо....

Нет, слева, видимо, непрерывность есть. Нет - справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение23.08.2016, 18:32 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1146051 писал(а):
DeBill в сообщении #1145990 писал(а):
предел слева - не равен тому, чего надо....

Нет, слева, видимо, непрерывность есть. Нет - справа.

Что-то не пойму как Вы это увидели. Кроме того, так и остался невыясненным вопрос о значении нашей суммы в точке $\sigma=\frac{1}{2}$. Кстати, а какое значение принимает в точке $\sigma=\frac{1}{2},t=0$ дзета-функция Римана?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение23.08.2016, 23:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
bayak
Как мне кажется, из точной формулы для Вашей функции следует, что при $\sigma$ чуть большей чем $\frac{1}{2}$, разница между значением в точке $\frac{1}{2}$ ,будет равна знакопеременной сумме обратных квадратов (из Вашей формулы, в скобке остаются первые слагаемые из каждой суммы). А это, кстати, есть значение "знакопеременной дзета-функции" в точке 2. Видимо, так же будет и в точках $\sigma =\frac{n-1}{n}$ : разрыв (скачок справа) будет равен значению той же функции в точке $n$.
Мораль: в силу разрывности, Ваша функция не есть дзета. Однако, с ней - достаточно хитрым образом - связана.

-- 24.08.2016, 00:47 --

bayak в сообщении #1146184 писал(а):
остался невыясненным вопрос о значении нашей суммы в точке $\sigma=\frac{1}{2}$

Почему? Вы же привели точную формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение24.08.2016, 19:57 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1146229 писал(а):
из Вашей формулы, в скобке остаются первые слагаемые из каждой суммы

Это не понятно. Вроде бы при малом шевелении $\sigma$ должны соответствующим образом измениться пределы сумм, а точнее квадрат должен уступить место степени $\frac{1}{1-\sigma}$, но это не означает, что остаются только первые слагаемые.

Что касается несоответствия дзете, то тут достаточно подставить отрицательные целые значения $\sigma$ и мы увидим, что нулевая сумма не получается никогда - тривиальные нули дзеты не получились.
DeBill в сообщении #1146229 писал(а):
Почему? Вы же привели точную формулу.

Так из формулы ещё надо извлечь число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ivan 09, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group