гипотеза о продолжении ряда

[bayak]

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в утверждении:

$$\zeta(\sigma)=\begin{cases} \sum\limits_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{\left\lfloor n^{1-\sigma}\right\rfloor}}{n}&\text{если $\sigma<1$}\\ \sum\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{\sigma}},&\text{если $\sigma>1$} \end{cases}$$

где $\zeta$ - дзета-функция Римана.
В области, примыкающей к единице слева, сумма ряда стремится к $-\infty$, что хорошо, но как там в других точках (даже целых) мне неизвестно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Неинформативный заголовок,
- Отсутствует предмет обсуждения,
- Вы это утверждаете или Вы об этом спрашиваете?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

bayak
А откуда взялась верхняя формула?

bayak в сообщении #1144824 писал(а):

сумма ряда стремится к $-\infty$, что хорошо,

Разве? И чем это мобыть хорошо????
Для $\sigma \in (0,1)$ ряд сходится (в задачнике Демидовича есть этот пример для $\sigma =\frac{1}{2}$).

[bayak]

DeBill, формула взялась из головы, а под "хорошестью" имелось в виду совпадение суммы ряда слева от единицы с асимптотическим поведением дзета-функции Римана. А как там в задачнике предлагается решать эту задачу? Или может подскажете на какой странице задача?

[Metford]

bayak в сообщении #1145985 писал(а):

Или может подскажете на какой странице задача?

Задача №№2672, 2687 (более общий случай) (стр. 262, 263, 13 издание, 1997)

[bayak]

Metford, спасибо. Посмотрел, но там просят исследовать на сходимость, а хотелось бы найти сумму.

[DeBill]

bayak
Сходимость: надо сложить куски ряда с одним знаком. Для $\sigma = \frac{1}{2}$: это отрезок гармонического ряда от $n^2$ до $(n+1)^2$, его сумма примерно равна $\ln((n+1)^2) - \ln(n^2) \sim \frac{2}{n}$. Далее - по Лейбницу.
Однако явно сосчитать сумму - будет весьма затруднительно.
И вообще, вызывает серьезные сомнения непрерывная зависимость Вашей суммы от параметра $\sigma$. Скажем, в той же точке $\sigma = \frac{1}{2}$: вроде бы, предел слева - не равен тому, чего надо....

[bayak]

DeBill в сообщении #1145990 писал(а):

bayak
Сходимость: надо сложить куски ряда с одним знаком. Для $\sigma = \frac{1}{2}$: это отрезок гармонического ряда от $n^2$ до $(n+1)^2$

Уже тут не понял. Как четность целой части $\sqrt{n}$ связана с указанным интервалом? Хотя нет, понял.

[bayak]

У меня получается, что в данном частном случае ($\sigma=\frac{1}{2}$) сумма равна сумме:

$$\sum\limits_{1}^{\infty}2\ln\frac{4n^2-1}{4n^2}$$

которую наверно уже можно вычислить.

[bayak]

Однако это приблизительная сумма. Точное значение равно сумме:

$$\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum\limits_{(2n)^2}^{(2n+1)^2-1}\frac{1}{k}-\sum\limits_{(2n-1)^2}^{(2n)^2-1}\frac{1}{k}\right)$$

[DeBill]

DeBill в сообщении #1145990 писал(а):

предел слева - не равен тому, чего надо....

Нет, слева, видимо, непрерывность есть. Нет - справа.

[bayak]

DeBill в сообщении #1146051 писал(а):

DeBill в сообщении #1145990 писал(а):

предел слева - не равен тому, чего надо....

Нет, слева, видимо, непрерывность есть. Нет - справа.

Что-то не пойму как Вы это увидели. Кроме того, так и остался невыясненным вопрос о значении нашей суммы в точке $\sigma=\frac{1}{2}$. Кстати, а какое значение принимает в точке $\sigma=\frac{1}{2},t=0$ дзета-функция Римана?

[DeBill]

bayak
Как мне кажется, из точной формулы для Вашей функции следует, что при $\sigma$ чуть большей чем $\frac{1}{2}$, разница между значением в точке $\frac{1}{2}$ ,будет равна знакопеременной сумме обратных квадратов (из Вашей формулы, в скобке остаются первые слагаемые из каждой суммы). А это, кстати, есть значение "знакопеременной дзета-функции" в точке 2. Видимо, так же будет и в точках $\sigma =\frac{n-1}{n}$ : разрыв (скачок справа) будет равен значению той же функции в точке $n$.
Мораль: в силу разрывности, Ваша функция не есть дзета. Однако, с ней - достаточно хитрым образом - связана.

-- 24.08.2016, 00:47 --

bayak в сообщении #1146184 писал(а):

остался невыясненным вопрос о значении нашей суммы в точке $\sigma=\frac{1}{2}$

Почему? Вы же привели точную формулу.

[bayak]

DeBill в сообщении #1146229 писал(а):

из Вашей формулы, в скобке остаются первые слагаемые из каждой суммы

Это не понятно. Вроде бы при малом шевелении $\sigma$ должны соответствующим образом измениться пределы сумм, а точнее квадрат должен уступить место степени $\frac{1}{1-\sigma}$, но это не означает, что остаются только первые слагаемые.

Что касается несоответствия дзете, то тут достаточно подставить отрицательные целые значения $\sigma$ и мы увидим, что нулевая сумма не получается никогда - тривиальные нули дзеты не получились.

DeBill в сообщении #1146229 писал(а):

Почему? Вы же привели точную формулу.

Так из формулы ещё надо извлечь число.