Отображение кольца на круг

[Evgenii2012]

Дорогие коллеги ! Нашёл интересную задачу и пока не смог, к сожалению решить. Отобразить аналитически (однозначно !) какое-либо кольцо $\{r_1<|z-z_0|<r_2\}$ на единичный круг. По многолистным отображениям есть целые монографии, но интересно найти как раз однозначное отображение, которое, понятно, гомеоморфизмом не может быть. Заранее благодарен за помощь !

[Otta]

Evgenii2012 в сообщении #1145397 писал(а):

Отобразить аналитически (однозначно !)

Evgenii2012 в сообщении #1145397 писал(а):

По многолистным отображениям есть целые монографии, но интересно найти как раз однозначное отображение,

Не совсем понятно. То есть Вам требуется однолистное отображение, т.е. взаимно-однозначное аналитическое?

[Evgenii2012]

Отображение называется однозначным, если $f(z)$ определяется единственным образом для каждого $z.$ Существуют так называемые многозначные отображения, для которых при каждом $z$ есть как минимум два образа $w_1, w_2=f(z).$ Я не изучал природу этих отображений и прошу их не рассматривать.
Однолистность -- это когда для разных $z_1$ и $z_2$ образы $f(z_1)$ и $f(z_2)$ различны, никакого отношения к вышеупомянутому определению однолистность не имеет. Например, банальное отображение $f(z)=z^2$ однозначно, но не однолистно. Однолистных отображений, удовлетворяющих условию моей задачи, не бывает (хорошо известно, что гомеоморфизмы всегда сохраняют количество компонент связности).

[Otta]

Ясно, мне нужно было уточнить. То есть, обратные многозначные Вас устраивают.

[Evgenii2012]

Конечно, разумеется (других ведь и нет)

[DeBill]

Evgenii2012
Отображение $w=(z-1)^2$ отображает кольцо $\{1<\left\lvert z \right\rvert\ <100\}$ на односвязную область. А есть ещё теорема Римана....

[Evgenii2012]

Благодарю за ответ, а почему Вы решили, что данное отображение на односвязную область отображает данное кольцо - не могли бы Вы пояснить ?

[DeBill]

Evgenii2012
Можно посмотреть на образы граничных окружностей (это - кардиоиды, вроде бы). Ну, и образ внутренней - строго внутри образа внешней...И принцип соответствия границ есть...
Так что пример - правильный. Хотя с обоснованием, кнешно, не очень. А вообще - пример показывает, где надо искать. Может, какие-то и боле простые примеры есть.

-- 20.08.2016, 15:37 --

Evgenii2012
Ох, извините, не будет образ односвязным: в точку 0 ничего не перешло. Надо $w=(z-2)^2$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за Ваше мнение и за подсказку. Я не знаком, к сожалению, с термином "кардиоды", однако по сути я пока немного сомневаюсь в этом примере, так как границы окружностей могут "схлопнуться" (при малых радиусах кольца так оно и будет). Утверждение о том, что "границы внутренней строго внутри образа внешней" не убедительно: отображение является открытым, но не является замкнутым.

-- 20.08.2016, 13:41 --

Относительно второго примера - то же самое: почему односвязность имеет место ?

-- 20.08.2016, 13:44 --

Кстати, хотел бы напомнить, что принципа соответствий границ здесь нет: образ границы может быть внутренней точкой. Этот принцип работает только для гомеоморфизмов. Ну а то, что отображение открыто (образ внутренних точек внутренний) ещё не даёт желанной односвязности

[Otta]

Evgenii2012 в сообщении #1145467 писал(а):

Относительно второго примера - то же самое: почему односвязность имеет место ?

Потому что образ дырки полностью попадет в образ большого круга, что легко получить простой оценкой.
Вы сами-то тоже смотрите, почему.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за Ваше мнение, а почему образ большого круга будет односвязен -- есть ли возможность обосновать это ?

-- 20.08.2016, 14:42 --

Кроме того, я вообще не могу понять, как Вы находите образы окружностей при данном отображении - подскажите, пожалуйста (заранее благодарен)

[DeBill]

Evgenii2012
Ну, можно использовать стандартную параметризацию большой окружности, и полярные координаты в образе. Повозившись чуток, нарисуем образ окр-ти: эта кривая дважды обходит вокруг нуля, и лежит в кольце с внутренним радиусом $98^2$ и внешним - $102^2$ (это легко), имеет одну точку самопересечения (это - труднее), и состоит из двух "овалов". Точки внутри меньшего овала имеют два прообраза (в большом круге), из промежутка между ними - один прообраз - это все следует из принципа аргумента. Ну, и т.д.....

[Evgenii2012]

Большое спасибо за обстоятельный ответ. У меня вопрос: если у кривой одна точка самопересечения, то как может быть два прообраза у отдельных точек? Ведь, насколько я понимаю, тогда образ окружности должен иметь точку "касания". Поэтому у меня следующая просьба: если Вам не очень трудно, не могли бы Вы прикрепить приблизительный рисунок этого множества в образе при отображении, чтобы я лучше понимал конструкцию (хотя бы приблизительно, как Вы это видите). Формальную сторону буду додумывать самостоятельно. Спасибо !

[DeBill]

А вот картинки я рисовать не умею, увы.

Evgenii2012 в сообщении #1145495 писал(а):

тогда образ окружности должен иметь точку "касания"

Не, там будет пересечение (под очень малым углом, правда). Прообразы овалов: дуги окружности, заданные неравенствами $x\geqslant 2$ и $x\leqslant 2$. Прообразы точки самопересечения $x^2 + y^2 = 100^2, x=2$. У точки $w=16$ два прообраза. У точки $w=100^2$ один прообраз.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, ещё раз, за ответ. Просто рисуя, не вникая в детали, у меня не получается односвязной области, поэтому я и просил рисунок. Нужны какие-то более весомые элементы установить это - я проанализирую Ваши доводы ещё раз. Вопрос на настоящий момент для меня не закрыт