Отображение кольца на круг

[Евгений Машеров]

Переходим к полярным координатам, затем вычитаем из модуля $r_1$ и возвращаемся в прямоугольные.

[Evgenii2012]

Дорогие коллеги ! Ещё раз, большое спасибо за интересное обсуждение. К сожалению, я не могу одобрить ни выбранный выше способ решения задачи, ни элементы рассуждений. На мой взгляд, всё упомянутое выше - лишь некие наводящие соображения, которые ни к чему конкретному не приводят. Итак, допустим мы параметризовали окружность с центром в нуле радиуса 100, пусть у нас $z=100\cdot e^{i\varphi},$ $\varphi\in [0, 2\pi].$ Далее отсюда у нас вытекает $(z-1)^2=100^2\cdot e^{2i\varphi}-200e^{i\varphi}+1.$ Ясно, что это некоторая кривая. Что дальше ? И как полученный результат влияет на сформулированную мной проблему ?

[Otta]

Evgenii2012 в сообщении #1145703 писал(а):

лишь некие наводящие соображения, которые ни к чему конкретному не приводят.

Полное решение здесь выдавать не принято, по правилам. Хотя вроде уж Вам все написали.

Evgenii2012 в сообщении #1145703 писал(а):

Ясно, что это некоторая кривая. Что дальше ?

И ничего. Эта кривая ограничивает односвязную область, причем образ дырки будет полностью накрываться этой областью. Значит, сама область (вся) тоже односвязна. Что еще нужно для теоремы Римана? Да ничего.
Что конкретно Вас смущает?

[Evgenii2012]

Спасибо за сообщение. Докажите, что образ односвязен - в том, что приведено выше, доказательство отсутствует. Если не можете доказать, напишите, а если можете, но считаете это моветоном в контексте правил форума, то извините, я по-прежнему буду считать, что доказательства нет. "Уровень изложения не соответствует общепринятым представлениям о математической строгости" - так бы написал Вам любой рефери. Я уже писал в своём предыдущем сообщении, что доказательства нет; уровень изложения подсказок таков, что я и сам могу выдать подобные версии значительно в большем количестве, чем Вам кажется. Сказал бы, что всё элементарно и очевидно, там где всё не элементарно и не очевидно - и разбирайся, как хочешь ! Кстати о теореме Римана: в замечательной книге Голузина есть теорема о наличии отображений произвольной n-связной области на круг (могу кинуть ссылку !), так что для теоремы Римана на форум я не ходил бы ! Тут речь идёт о конкретном отображении. Но если даже мы и разбираем конкретный пример, то всё равно нужны какие-то обоснования, а не пустые слова.

[Otta]

Evgenii2012
Я еще вчера построила и образ области, и кривую, в которую переходит граница каждой из окружностей. Это не так сложно. Что сделали Вы?
Что касается правил форума - поверьте мне на слово, я их знаю немножко лучше. В учебном разделе Вы можете просить подсказки, но не требовать большей части решения. Сходите, почитайте.

Evgenii2012 в сообщении #1145709 писал(а):

что я и сам могу выдать подобные версии значительно в большем количестве, чем Вам кажется

Охотно послушаю.

Evgenii2012 в сообщении #1145709 писал(а):

Тут речь идёт о конкретном отображении.

Это другой вопрос, и если он звучит именно так, то рассуждения выше, конечно, не годятся. Но тогда Вам следовало сразу сказать об этом и не интересоваться подробностями решения, которое Вас заведомо не интересует.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за сообщение. Пример мне интересен, поэтому обсуждаю с удовольствием. Что касается того что Вы сделали, независимо от правил форума, доказательства односвязности области нет. Извините.

[Otta]

Да и ладно, мне то что, нет так нет. Я не ищу ни признания, ни соответствия стандартам реферируемых журналов.
Извиняю, вощим, тем более, что особо и не за что: у Вас действительно нет моего доказательства.

Правда, хотелось бы понять, зачем оно Вам, если Вас интересует конкретное отображение.

[Evgenii2012]

Спасибо за сообщение, я действительно весьма интересуюсь данным примером и буду дальше над ним думать. Наличие конкретного отображения - иная вещь и книжка Голузина, которую мне подсказали коллеги уже после вчерашнего разговора с Вами, закрыла эту тему. Я не хочу показаться Вам не вполне сообразительным, но я действительно очень плохо себе представляю, как именно Вы извлекаете свойства данной кривой. Тут или какой-то тонкий анализ, либо наоборот, соображения интуитивного плана. Может, лично для меня Вы уточните ещё раз, как именно Вы исследуете свойства образа окружности ? Также меня смущает, что все как бы "представляемые" мной образы данной окружности приводят именно к двусвязной области.

[Otta]

Можно с анализом, можно без - это зависит много от чего, и от знаний, и от потребностей.
Кривая на границе - улитка Паскаля, вот такая примерно: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk ... macon.html
Только внутренняя петля чуть пошире.

Вот их две. Одна очень большая такая ("большого радиуса", образ большой окружности), другая маленькая такая (образ единичной окружности). Причем этот образ нужно понимать правильно. Образ большого круга (просто круга) - именно односвязен, граница пойдет по самой внешней границе улитки Паскаля, не заходя во внутреннюю петлю. Внутренняя петля - это не дырка, это то, что будет "внахлест" при возведении в квадрат. С малой окружностью - аналогично. И образ малой окружности накроется как раз за счет внутренней петли при возведении в квадрат большой, которая будет в любом случае и которая эту дырку перекроет.

Вы извините, это такие вещи, которые надо переваривать самому, потому что сколь ни объясняй, все равно какой-то элемент объяснения будет казаться недостаточным для уровня рецензируемых журналов )) хотя обычно вот этой всей фигни там как раз и не пишут. Потому что из достаточно общих соображений ясно, что дырка накроется и образ будет односвязным.

(Оффтоп)

Сорри, у меня не так много времени было, чтобы писать ну ооочень подробно. Если Вам не хватает деталей на уровне техническом, а не понимания, то есть формулки нужны - посмотрите параметрическое уравнение для улитки Паскаля, в полярных координатах, например (оно есть по ссылке выше), я думаю, сможете увидеть взаимное расположение кривых.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, меня собственно интересует только, как именно Вы строите образ "большой" кривой (всё остальное, действительно, в известной степени просто), как Вы узнали её вид ? Вы по точкам её строите, или какой-то метод построения используете ? Может, через производную по $\varphi$ ? (хотя для полярных координат это на первый взгляд выглядит не вполне серьёзно). Я уже писал в одном из предыдущих сообщений, что получается кривая $\gamma(\varphi)$ довольно непростого вида, примерно такого, как $\gamma(\varphi)=100^2\cdot e^{2i\varphi}-200e^{i\varphi}+1.$ Возникает вопрос, как построить такую кривую ? Расскажите мне на пальцах (не строго), как Вы это делаете. Более-менее элементарные кривые в полярных координатах строят по точкам, но здесь ведь витиеватое выражение. Заранее благодарен !

[DeBill]

Evgenii2012
О технике: я уже писал, кто будет границей образа: образ "левой" "полуокружности". То, что это - замкнутая кривая без самопересечений, обходящая один раз вокруг нуля - можно показать станд. средствами матана - в полярных к-тах (к которым Вы так и не перешли...). То, что в каждую точку области, ограниченной этой кривой, что-нить перейдет - из принципа аргумента (придется искать и описывать качественно и образ "правой половинки"), и об этом я тоже писал). Однако, это все не суть важно (хотя техникой следует владеть). Важно было понять, что такое от-е есть, и как оно работает. И - я опять же писал - можно было попробовать соорудить что-то в этом духе, но более простое. Например, так: отобразим дробно-линейно круг, ограниченный большей окружностью, на единичный круг так, что какая- нибудь внутренняя точка кольца перешла в центр единичного. А потом применим $z\mapsto z^2$....
Rem. Если $2$ заменить на достаточно большое $n$, то конструкция сработает и для круга с любым числом дырок.

[Evgenii2012]

Дорогой DeBill, большое спасибо за Ваше мнение. Я внимательно читаю Ваши сообщения и мои вопросы вовсе не свидетельствуют о том, что я ленивый человек и мне не хочется самому проверить какой-то факт. Вы, наверное, обратили внимание, что моё предыдущее сообщение, адресованное Otta, как раз содержит переход к полярным координатам (если это не полярные координаты, то что тогда они ?). Дальше меня интересует некая конкретика - что по-Вашему нужно делать дальше ? С Вашей точки зрения, я нахожусь на верном пути, или Вы что-то совсем другое имеете в виду ? Меня также интересует, что подразумевается под стандартными средствами мат. ана. Как я также уже писал в своём предыдущем сообщении, стандартными средствами могут быть как взятие производной, так и построение кривой по точкам. Заранее спасибо !

[Otta]

Evgenii2012 в сообщении #1145885 писал(а):

(если это не полярные координаты, то что тогда они ?).

Это не полярные координаты. Это зависимость $z=z(\varphi)$, - обычная параметрическая запись комплексной кривой.
Полярные координаты, как известно, - $\rho=\rho(\varphi)$.

Вам будет легче к ним переходиться, если Вы сдвинете конструкцию $\gamma(\varphi)=R^2 e^{2i\varphi}-2R e^{i\varphi}$ вправо на $R^2$.

Удачи.

[DeBill]

Evgenii2012 в сообщении #1145885 писал(а):

что по-Вашему нужно делать дальше ?

Проще всего: выбросить этот не слишком удачный пример , и посмотреть другой, из последнего сообщения: там дано конкретное от-е, с которым совсем все просто (и не надо теорему Римана применять).
По старому примеру. Пусть, например, $\gamma$ - дуга окружности $\left\lvert z \right\rvert =R, \operatorname{Re} z \geqslant 2 $, $A,B$ - ее концы. Пусть $\alpha =\arg(z-2), r =\left\lvert z-2 \right\rvert$. При $z \in \gamma$ , $\alpha$ непрерывно меняется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, так что $\alpha$ - параметр на $\gamma$, и $r=r(\alpha)$ - параметризация $\gamma$. Пусть $w=\rho e^{i\psi}$. Наше отображение задано формулами $\rho =r^2, \psi =2\alpha$. Поэтому образ $\gamma$ - замкнутая кривая, один раз обходящая вокруг нуля....

(Оффтоп)

А вот то, что луч, выходящий из точки внутри окружности, пересекает ее (окр-ть) ровно в одной точке, я доказывать не буду....

[Evgenii2012]

Дорогой DeBill, спасибо за сообщение, уточните пожалуйста - что это за новый пример из последнего сообщения ? Что за отображение ? Мне казалось, что мы всё время обсуждаем отображение $w=(z-2)^2$ - я не прав ? Заранее благодарен.