Доказательство Ферма по простому числу вида
необходимо дополнить совсем не большими разъяснениями. Предполагаемый вариант, если не ошибаюсь, таков.
Если некоторое произвольно взятое простое число, которое на единицу превосходит кратное 4, не составляется из двух квадратов, то это простое число всегда можно разложить в сумму четного квадрата и простого числа вида
, которое также не разлагалось бы в сумму двух квадратов.
Потому, что если бы оно разлагалось в сумму двух квадратов, то исходное число равнялось бы сумме двух четных и одного нечетного квадратов. Тогда, чтобы не нарушалась условие, что данное число является видом
и состоит из четного квадрата и другого числа такого же вида
, то сумма четных квадратов должна равняться четному квадрату. Что возможно при условии, что квадраты имеют общий четный делитель.
Но, тогда данное число разлагалось бы в сумму двух квадратов, что противоречит нашему условию. Значит второе число той же природы (сумма простого числа и квадрата), меньшее данного, а затем третье, еще меньшее и т.д., спускаясь до бесконечности пока не дойдем до числа 5, которое является самым маленьким из чисел этой природы, которое следовательно, не должно составляться из двух квадратов, что, однако, имеет место.
Откуда следует заключить, путем приведения к абсурду, что все числа этой природы составляются из двух квадратов.
Проясняя не понятные места, я совсем немного дополнил текст Ферма. Почему же тогда Эйлер не доказал это утверждение бесконечным спуском. (не применил наметки доказательства Ферма).