В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)

[Someone]

diletto в сообщении #1141055 писал(а):

Для меня парадокс равносоставленности - вполне себе парадокс.

С математической точки зрения парадокс — это ситуация, когда доказуемо некоторое утверждение вместе с его отрицанием. А "парадокс" равносоставленности противоречит только бытовой интуиции. Математика же занимается логическими конструкциями, которые у себя на кухне обнаружить невозможно, и бытовая интуиция в них совершенно не разбирается.

diletto в сообщении #1141055 писал(а):

почему нельзя считать происходящее на этом шаге выбором из единственного множества?

"На этом шаге" это и есть выбор из единственного множества. Но шагов-то этих получается бесконечное множество.

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141055 писал(а):

Если каждый шаг - это всего лишь выбор произвольной точки из того, что осталось от отрезка, и на этом шаге не требуется знать, что от отрезка останется на следующих шагах, почему нельзя считать происходящее на этом шаге выбором из единственного множества?

Почему нельзя? Можно. Но вся совокупность шагов у Вас образует что?

Anton_Peplov в сообщении #1141054 писал(а):

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

Но если рассматривать всю совокупность шагов, то возникает последовательность множеств, причем несчетная.

Несчетная последовательность - это круто.

[diletto]

Someone в сообщении #1141049 писал(а):

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Но ведь выбрасывать на первом шаге СЧЕТНОЕ множество положительных рациональных от ]0 до 1] я тоже никогда не закончу...

Ну почему же? Вы просто указываете, что выбрасываете из отрезка все рациональные точки, кроме точки "$0$" (или, что эквивалентно, указываете, что включаете в создаваемое множество точку "$0$". Это определяется условием, которое в языке теории множеств записывается конечным числом символов.

Конечность записи меня не убеждает. Можно писать 0,11111...., можно 0,(1), а можно - 1/9. Вопрос наличия соответствующих обозначений, и только. Специальный значок для "выбросить все рациональные точки"... Реификация, в общем.

-- 31.07.2016, 04:38 --

Anton_Peplov в сообщении #1141057 писал(а):

diletto в сообщении #1141055 писал(а):

Если каждый шаг - это всего лишь выбор произвольной точки из того, что осталось от отрезка, и на этом шаге не требуется знать, что от отрезка останется на следующих шагах, почему нельзя считать происходящее на этом шаге выбором из единственного множества?

Почему нельзя? Можно. Но вся совокупность шагов у Вас образует что?

Anton_Peplov в сообщении #1141054 писал(а):

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

Но если рассматривать всю совокупность шагов, то возникает последовательность множеств, причем несчетная.

Несчетная последовательность - это круто.

Может быть, тогда правильнее опровергать меня формулировкой наподобие "никакой способ перебора не может исчерпать континуум"?

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141058 писал(а):

Может быть, тогда правильнее опровергать меня формулировкой наподобие "никакой способ перебора не может исчерпать континуум"?

Я не знаю, что такое "способ перебора" и не знаю, какой формулировкой опровергать Вас, чтобы Вы наконец поняли, что опровергнуты. Предлагаю другое решение: берете аксиомы $ZF$ без аксиомы выбора (изложены, например, в учебнике Куратовский, Мостовский. Теория множеств) и показываете, что по этим аксиомам построенное Вами нечто является множеством. Когда докажете - приходите.

[Someone]

diletto в сообщении #1141058 писал(а):

Можно писать 0,11111....

Это неформальная запись. В формальной теории действительных чисел таких записей нет.

diletto в сообщении #1141058 писал(а):

Может быть, тогда правильнее опровергать меня формулировкой наподобие "никакой способ перебора не может исчерпать континуум"?

При наличии аксиомы выбора можно. Трансфинитной последовательностью соответствующей длины. А без аксиомы выбора иногда можно, а иногда нельзя. Но это к делу отношения не имеет.

Anton_Peplov в сообщении #1141059 писал(а):

показываете, что по этим аксиомам построенное Вами нечто является множеством. Когда докажете - приходите.

Поддерживаю.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1141028 писал(а):

Задача для каждого $x \in [0, 1]$ предъявить $-x$ неалгоритмируема по тем же самым причинам. Скажете ли Вы, что она неконструктивна?

Я скажу. Конструктивно "предъявить действительное число" значит предъявить алгоритм, который приближает его рациональным числом с любой заданной (на входе алгоритма) точностью. Вот пример действительного числа, принадлежащего отрезку $[0, 1]$, которое невозможно "предъявить" в этом смысле:

Рассмотрим все возможные программы для машины Тьюринга, стартующие с ленты, заполненной нулями. Пронумеруем их (способ нумерации уточнять не буду, при необходимости Вы его без труда предложите). В $i-\text{том}$ двоичном разряде числа поставим $1$, если $i-\text{тая}$ программа останавливается, и $0$ - если не останавливается. Алгоритма, вычисляющего данное число с любой точностью, не существует.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Это как-то неконструктивно* оставлять за рамками теории хорошо определённое число только потому, что они невычислимо В конце-концов, для любой заранее заданной точности можно предьявить алгоритм, вычисляющий это число с этой точностью.
(*Думаю понятно, что слово неконструктивно я употребил здесь в бытовом смысле.)

[epros]

warlock66613 в сообщении #1141131 писал(а):

Это как-то неконструктивно* оставлять за рамками теории хорошо определённое число только потому, что они невычислимо В конце-концов, для любой заранее заданной точности можно предьявить алгоритм, вычисляющий это число.
(*Думаю понятно, что слово неконструктивно я употребил здесь в бытовом смысле.)

У меня другие понятия о бытовом смысле конструктивности. Я бы сказал, что неконструктивно называть невычислимое число "хорошо определённым". По моим понятиям это число не просто "нехорошо" определено, а и вовсе не определено как число.

-- Вс июл 31, 2016 15:09:01 --

Кстати, вот это:

warlock66613 в сообщении #1141131 писал(а):

В конце-концов, для любой заранее заданной точности можно предьявить алгоритм, вычисляющий это число с этой точностью.

тоже неконструктивный вывод. На практике существует точность, выше которой нам не удаётся вычислить значение этого числа. И скорее всего есть такая точность, превзойти которую не удастся никогда, как бы ни росли со временем вычислительные мощности в распоряжении человечества.

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141059 писал(а):

diletto в сообщении #1141058 писал(а):

Может быть, тогда правильнее опровергать меня формулировкой наподобие "никакой способ перебора не может исчерпать континуум"?

Я не знаю, что такое "способ перебора" и не знаю, какой формулировкой опровергать Вас, чтобы Вы наконец поняли, что опровергнуты. Предлагаю другое решение: берете аксиомы $ZF$ без аксиомы выбора (изложены, например, в учебнике Куратовский, Мостовский. Теория множеств) и показываете, что по этим аксиомам построенное Вами нечто является множеством. Когда докажете - приходите.

Вряд ли справлюсь :(

В целом до меня, наверное, уже дошло, что построение опровергнуто. Сказанное Вами, Warlock66613 и Someone я осмысливаю в наивных терминах примерно так: "невозможно покрыть вещественный отрезок последовательными актами выбора случайных точек, т.к. множество актов всего лишь счетно. НЕпоследовательный (единовременный?.. но это слово в математике вряд ли применимо) выбор требует принятия аксиомы выбора".

Если у собеседников еще осталось терпение, прошу пояснить насчет отношения эквивалентности $x \sim y$, задаваемого условием $x-y\in\mathbb{Q}$. Верно ли, что неконструктивность такого разбиения и его неоднозначность в данном случае нас не волнуют потому, что дальнейшие рассуждения строятся на свойствах, присущих любому варианту разбиения?

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141267 писал(а):

Верно ли, что неконструктивность такого разбиения и его неоднозначность в данном случае нас не волнуют потому, что дальнейшие рассуждения строятся на свойствах, присущих любому варианту разбиения?

Разбиение множества $[0, 1]$ на классы $x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ однозначно. Неоднозначен выбор из каждого класса по одному представителю. Но эта неоднозначность нас не волнует именно потому, что дальнейшие рассуждения от выбора представителя никак не зависят.

Почему нас не волнует "неконструктивность" - совсем другой вопрос. Во-первых, все еще неясно, что именно Вы понимаете под неконструктивностью. Во-вторых, неясно, кого "нас" - есть люди, которых построение множества Витали очень даже волнует именно в силу чего-то (мне не до конца ясного), что они называют "неконструктивностью", которые не признают такие построения легитимными. Их позиция имеет право на существование, но они в меньшинстве. Почему подавляющее большинство математиков принимает это построение как легитимное? Наверное, потому, что они согласны с аксиомой выбора, которая нужна, чтобы построить множество Витали, и законом исключенного третьего, исходя из которого доказывается его неизмеримость:)

[Someone]

diletto в сообщении #1141267 писал(а):

Вряд ли справлюсь :(

Тогда и опровергать нечего.

diletto в сообщении #1141267 писал(а):

я осмысливаю в наивных терминах примерно так: "невозможно покрыть вещественный отрезок последовательными актами выбора случайных точек, т.к. множество актов всего лишь счетно.

Я уже писал, что это неверно. Вполне допустимо рассматривать последовательный выбор точек с несчётным множеством актов выбора. Это определённым образом формализуется в виде конечного рассуждения (трансфинитная индукция). Если аксиома выбора есть, то мы всегда можем организовать это так, чтобы гарантированно исчерпать весь отрезок. Если аксиомы выбора нет, то как повезёт (зависит от конкретной модели).

Однако, независимо от наличия аксиомы выбора, метод построения или определения по индукции требует выполнения определённых условий (в частности, произвольный выбор на каждом шаге делать нельзя, так как будет невозможно доказать, что выбранные элементы образуют множество). Наличие аксиомы выбора облегчает выполнение этих условий.

diletto в сообщении #1141267 писал(а):

прошу пояснить насчет отношения эквивалентности $x \sim y$, задаваемого условием $x-y\in\mathbb{Q}$. Верно ли, что неконструктивность такого разбиения

Я, как и Anton_Peplov, не понимаю, что Вы здесь имеете в виду под "неконструктивностью". В разных ситуациях термин "конструктивность" может пониматься многими разными способами. С точки зрения классической математики, данное определение однозначно и конструктивно. С точки зрения конструктивистов оно не конструктивно.

[пианист]

(Оффтоп)

В свое время потратил много усилий, пытаясь дать явное описание полного порядка на $\mathbb {R}$.
Смешно..

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141275 писал(а):

Разбиение множества $[0, 1]$ на классы $x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ однозначно.

Черт возьми.. Уже не могу понять, отчего я вчера считал его неоднозначным. М-да.
Спасибо.