В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)

[diletto]

[Не бейте, пожалуйста, за невежество - снесите тему в "помогите разобраться", если слишком свиное рыло лезет в слишком калашный ряд.]

Опираюсь на статью в википедии "множество Витали".

Что, если не начинать построение множества с введения классов эквивалентности, как предлагает вики, а сформулировать так:

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.

В таком описании нет выбора точек-представителей из классов. Вместо выбора используются:
(1) предположение, что можно рассмотреть каждую точку отрезка.
(2) предположение, что для данной точки отрезка можно выбросить все точки, отделенные от нее рациональной длиной.

Первое предположение, как мне кажется, неявно задействовано и в "классическом" способе рассуждения, когда мы разбиваем точки отрезка на континуальное количество классов эквивалентности.
Второе - имеет дело с конструктивной, хотя и не финитной процедурой.

Действительно ли мы построили неизмеримое множество, не пользуясь аксиомой выбора?..

[warlock66613]

Чтобы приступить к процедуре «взять каждую точку отрезка» надо сначала решить в каком порядке их брать: какую точку взять первой, какую — второй, какую — 10-й, какую — $\omega$-й и т. д., так как от порядка будет зависеть результат. Думаю, вы знаете как называется такая процедура.

-- 30.07.2016, 23:29 --

diletto в сообщении #1141004 писал(а):

Первое предположение, как мне кажется, неявно задействовано и в "классическом" способе рассуждения, когда мы разбиваем точки отрезка на континуальное количество классов эквивалентности.

Ничего там не задействовано. То, что отношение эквивалентности разбивает множество доказывается элементарно и, конечно, без аксиомы выбора. И, в отличие от вашего построения, здесь не требуется ничего упорядочивать.

[diletto]

warlock66613 в сообщении #1141009 писал(а):

По-моему, чтобы приступить к процедуре «взять каждую точку отрезка» надо сначала решить в каком порядке их брать: какую точку взять первой, какую — второй, какую — 10-й, какую — $\omega$-й и т. д.

А чтобы определить функцию Дирихле на отрезке - тоже обязательно надо решить, какую точку брать первой и десятой?..

Цитата:

diletto в сообщении #1141004 писал(а):

Первое предположение, как мне кажется, неявно задействовано и в "классическом" способе рассуждения, когда мы разбиваем точки отрезка на континуальное количество классов эквивалентности.

Ничего там не задействовано. То, что отношение эквивалентности разбивает множество доказывается элементарно и, конечно, без аксиомы выбора.

Минутку. Я и не говорил, что разбиение требует аксиомы выбора. Возьмем для пояснения моей мысли совсем простые классы эквивалентности: пусть будут эквивалентны точки, отстоящие друг от друга ровно на 0,01. В каждом классе 2 элемента, классов - континуум. Имеем право сказать: "для каждого класса выкинем меньший из двух его элементов"? Вроде бы да, и никто не требует выбрать какой-то класс первым, какой-то десятым. Важно, что здесь присутствует слово "каждый", приложенное к континууму. Точно так же оно присутствует и в разбиении из вики. Точно так же оно присутствует в предложенной мною процедуре.

[warlock66613]

diletto в сообщении #1141018 писал(а):

А чтобы определить функцию Дирихле на отрезке - тоже обязательно надо решить, какую точку брать первой и десятой?..

Нет, потому что нам неважен порядок, мы можем взять точки в любом порядке и это ни на что не повлияет.
Но в вашем случае если точка $2$ будет, скажем, второй в списке всех точек отрезка. а $3$ — третьей, то в ваше множество Витали точка $2$ войдёт, а точка $3$ — нет. А если точка $3$ будет второй, а точка $2$ — третьей, то, наоборот, в множество Витали попадёт точка $3$, а точка $2$ нет. Поэтому чтобы построить какое-то конкретное множество вам надо определиться с порядком.

[diletto]

warlock66613 в сообщении #1141021 писал(а):

diletto в сообщении #1141018 писал(а):

А чтобы определить функцию Дирихле на отрезке - тоже обязательно надо решить, какую точку брать первой и десятой?..

Нет, потому что нам неважен порядок, мы можем взять точки в любом порядке и это ни на что не повлияет.
Но в вашем случае если точка $2$ будет, скажем, второй в списке всех точек отрезка. а $3$ — третьей, то в ваше множество Витали точка $2$ войдёт, а точка $3$ — нет. А если точка $3$ будет второй, а точка $2$ — третьей, то, наоборот, в множество Витали попадёт точка $3$, а точка $2$ нет. Поэтому чтобы построить какое-то конкретное множество вам надо определиться с порядком.

Ну хорошо, "взять каждую точку отрезка" - неконструктивная процедура. "Разбить по исходному рецепту на классы" - тоже неконструктивная, тоже порядок классов неизвестен. Одно не лучше и не хуже другого.

[warlock66613]

diletto в сообщении #1141022 писал(а):

Ну хорошо, "взять каждую точку отрезка" - неконструктивная процедура.

Именно. Точнее, она сводится к вполне упорядочению отрезка, что возможно проделать только при наличии аксимы выбора.

diletto в сообщении #1141022 писал(а):

"Разбить по исходному рецепту на классы" - тоже неконструктивная, тоже порядок классов неизвестен.

Разбиение не требует какого-либо упорядочения. И почему это она неконструктивная?

[Anton_Peplov]

Вообще не очень понятно, что в данном случае понимается под "конструктивностью процедуры". Если существование алгоритма, который ее выполняет, то я интересуюсь знать, в каком виде предлагается скармливать этому алгоритму целый континуум иррациональных чисел так, чтобы он эти числа отличал друг от друга. Если возможность "предъявить" в каком-то смысле результат этой процедуры, то надо уточнить, в каком именно.

[diletto]

warlock66613 в сообщении #1141023 писал(а):

diletto в сообщении #1141022 писал(а):

Ну хорошо, "взять каждую точку отрезка" - неконструктивная процедура.

Именно. Точнее, она сводится к вполне упорядочению отрезка, что возможно проделать только при наличии аксимы выбора.

diletto в сообщении #1141022 писал(а):

"Разбить по исходному рецепту на классы" - тоже неконструктивная, тоже порядок классов неизвестен.

Разбиение не требует какого-либо упорядочения. И почему это она неконструктивная?

Потому что нет построения конкретного класса (в том же смысле, в каком нет выбора конкретной точки)...

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141025 писал(а):

в том же смысле, в каком нет выбора конкретной точки

А это в каком?

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141026 писал(а):

diletto в сообщении #1141025 писал(а):

в том же смысле, в каком нет выбора конкретной точки

А это в каком?

Ну как вы и сказали - неалгоритмизуемая задача.

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141027 писал(а):

Ну как вы и сказали - неалгоритмизуемая задача.

Задача для каждого $x \in [0, 1]$ предъявить $-x$ неалгоритмируема по тем же самым причинам. Скажете ли Вы, что она неконструктивна?

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141028 писал(а):

diletto в сообщении #1141027 писал(а):

Ну как вы и сказали - неалгоритмизуемая задача.

Задача для каждого $x \in [0, 1]$ предъявить $-x$ неалгоритмируема по тем же самым причинам. Скажете ли Вы, что она неконструктивна?

Наверное, вопрос наличия соответствующей символики. Будет ли считаться, что я предъявил -x для _каждого_ x, если просто напишу [-1, 0] ?

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141030 писал(а):

Будет ли считаться, что я предъявил -x для _каждого_ x, если просто напишу [-1, 0] ?

Если я просто напишу "Рассмотрим на отрезке $[0, 1]$ отношение эквивалентности $x\sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ и из каждого класса эквивалентности выберем по одной точке" - будет ли считаться, что я предъявил множество Витали? Если нет, чем отличаются эти два случая?

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141032 писал(а):

diletto в сообщении #1141030 писал(а):

Будет ли считаться, что я предъявил -x для _каждого_ x, если просто напишу [-1, 0] ?

Если я просто напишу "Рассмотрим на отрезке $[0, 1]$ отношение эквивалентности $x\sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ и из каждого класса эквивалентности выберем по одной точке" - будет ли считаться, что я предъявил множество Витали? Если нет, чем отличаются эти два случая?

Если верить вики - да, будет считаться (предполагая аксиому выбора, естественно).
Моя посылка в том и состояла, что подход "выбросим для каждой точки отрезка все точки, отстоящие на рациональное расстояние" тоже предъявляет это множество, а аксиому выбора вроде и не задействует. При этом, если нам дозволено говорить о "каждом классе", не заботясь об их порядке, то почему говорить о "каждой точке" - менее конструктивно?
Высказанную Warlock66613 критику (результат построения множества зависит от порядка выбора точек) можно отнести и к разбиению на классы: оно ведь не единственно.
А может быть, главный смысл аксиомы выбора - как раз в том, что она позволяет работу с континуумом вообще (элементов или множеств; в случае построения из вики - с континуумом множеств), а не в том, что возможен выбор из бесконечного множества? И тем самым обосновывает и способ "каждой точки отрезка"?..
Кстати, есть ли какие-то противоречащие повседневной интуиции парадоксы, вытекающие из применения аксиомы выбора БЕЗ континуальности (только к счетным множествам)?

[Someone]

diletto в сообщении #1141004 писал(а):

сформулировать так:

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.

В этом описании явно чего-то не хватает. Потому что получается пустое множество. Ибо всякая точка отрезка находится на рациональном расстоянии от какой-нибудь другой точки того же отрезка.