2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 21:29 


12/08/13
902
[Не бейте, пожалуйста, за невежество - снесите тему в "помогите разобраться", если слишком свиное рыло лезет в слишком калашный ряд.]

Опираюсь на статью в википедии "множество Витали".

Что, если не начинать построение множества с введения классов эквивалентности, как предлагает вики, а сформулировать так:

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.

В таком описании нет выбора точек-представителей из классов. Вместо выбора используются:
(1) предположение, что можно рассмотреть каждую точку отрезка.
(2) предположение, что для данной точки отрезка можно выбросить все точки, отделенные от нее рациональной длиной.

Первое предположение, как мне кажется, неявно задействовано и в "классическом" способе рассуждения, когда мы разбиваем точки отрезка на континуальное количество классов эквивалентности.
Второе - имеет дело с конструктивной, хотя и не финитной процедурой.

Действительно ли мы построили неизмеримое множество, не пользуясь аксиомой выбора?..

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 22:04 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Чтобы приступить к процедуре «взять каждую точку отрезка» надо сначала решить в каком порядке их брать: какую точку взять первой, какую — второй, какую — 10-й, какую — $\omega$-й и т. д., так как от порядка будет зависеть результат. Думаю, вы знаете как называется такая процедура.

-- 30.07.2016, 23:29 --

diletto в сообщении #1141004 писал(а):
Первое предположение, как мне кажется, неявно задействовано и в "классическом" способе рассуждения, когда мы разбиваем точки отрезка на континуальное количество классов эквивалентности.
Ничего там не задействовано. То, что отношение эквивалентности разбивает множество доказывается элементарно и, конечно, без аксиомы выбора. И, в отличие от вашего построения, здесь не требуется ничего упорядочивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:04 


12/08/13
902
warlock66613 в сообщении #1141009 писал(а):
По-моему, чтобы приступить к процедуре «взять каждую точку отрезка» надо сначала решить в каком порядке их брать: какую точку взять первой, какую — второй, какую — 10-й, какую — $\omega$-й и т. д.

А чтобы определить функцию Дирихле на отрезке - тоже обязательно надо решить, какую точку брать первой и десятой?..
Цитата:
diletto в сообщении #1141004 писал(а):
Первое предположение, как мне кажется, неявно задействовано и в "классическом" способе рассуждения, когда мы разбиваем точки отрезка на континуальное количество классов эквивалентности.
Ничего там не задействовано. То, что отношение эквивалентности разбивает множество доказывается элементарно и, конечно, без аксиомы выбора.

Минутку. Я и не говорил, что разбиение требует аксиомы выбора. Возьмем для пояснения моей мысли совсем простые классы эквивалентности: пусть будут эквивалентны точки, отстоящие друг от друга ровно на 0,01. В каждом классе 2 элемента, классов - континуум. Имеем право сказать: "для каждого класса выкинем меньший из двух его элементов"? Вроде бы да, и никто не требует выбрать какой-то класс первым, какой-то десятым. Важно, что здесь присутствует слово "каждый", приложенное к континууму. Точно так же оно присутствует и в разбиении из вики. Точно так же оно присутствует в предложенной мною процедуре.

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:13 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
diletto в сообщении #1141018 писал(а):
А чтобы определить функцию Дирихле на отрезке - тоже обязательно надо решить, какую точку брать первой и десятой?..
Нет, потому что нам неважен порядок, мы можем взять точки в любом порядке и это ни на что не повлияет.
Но в вашем случае если точка $2$ будет, скажем, второй в списке всех точек отрезка. а $3$ — третьей, то в ваше множество Витали точка $2$ войдёт, а точка $3$ — нет. А если точка $3$ будет второй, а точка $2$ — третьей, то, наоборот, в множество Витали попадёт точка $3$, а точка $2$ нет. Поэтому чтобы построить какое-то конкретное множество вам надо определиться с порядком.

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:20 


12/08/13
902
warlock66613 в сообщении #1141021 писал(а):
diletto в сообщении #1141018 писал(а):
А чтобы определить функцию Дирихле на отрезке - тоже обязательно надо решить, какую точку брать первой и десятой?..
Нет, потому что нам неважен порядок, мы можем взять точки в любом порядке и это ни на что не повлияет.
Но в вашем случае если точка $2$ будет, скажем, второй в списке всех точек отрезка. а $3$ — третьей, то в ваше множество Витали точка $2$ войдёт, а точка $3$ — нет. А если точка $3$ будет второй, а точка $2$ — третьей, то, наоборот, в множество Витали попадёт точка $3$, а точка $2$ нет. Поэтому чтобы построить какое-то конкретное множество вам надо определиться с порядком.

Ну хорошо, "взять каждую точку отрезка" - неконструктивная процедура. "Разбить по исходному рецепту на классы" - тоже неконструктивная, тоже порядок классов неизвестен. Одно не лучше и не хуже другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:29 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
diletto в сообщении #1141022 писал(а):
Ну хорошо, "взять каждую точку отрезка" - неконструктивная процедура.
Именно. Точнее, она сводится к вполне упорядочению отрезка, что возможно проделать только при наличии аксимы выбора.
diletto в сообщении #1141022 писал(а):
"Разбить по исходному рецепту на классы" - тоже неконструктивная, тоже порядок классов неизвестен.
Разбиение не требует какого-либо упорядочения. И почему это она неконструктивная?

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Вообще не очень понятно, что в данном случае понимается под "конструктивностью процедуры". Если существование алгоритма, который ее выполняет, то я интересуюсь знать, в каком виде предлагается скармливать этому алгоритму целый континуум иррациональных чисел так, чтобы он эти числа отличал друг от друга. Если возможность "предъявить" в каком-то смысле результат этой процедуры, то надо уточнить, в каком именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:40 


12/08/13
902
warlock66613 в сообщении #1141023 писал(а):
diletto в сообщении #1141022 писал(а):
Ну хорошо, "взять каждую точку отрезка" - неконструктивная процедура.
Именно. Точнее, она сводится к вполне упорядочению отрезка, что возможно проделать только при наличии аксимы выбора.
diletto в сообщении #1141022 писал(а):
"Разбить по исходному рецепту на классы" - тоже неконструктивная, тоже порядок классов неизвестен.
Разбиение не требует какого-либо упорядочения. И почему это она неконструктивная?

Потому что нет построения конкретного класса (в том же смысле, в каком нет выбора конкретной точки)...

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
diletto в сообщении #1141025 писал(а):
в том же смысле, в каком нет выбора конкретной точки
А это в каком?

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение30.07.2016, 23:56 


12/08/13
902
Anton_Peplov в сообщении #1141026 писал(а):
diletto в сообщении #1141025 писал(а):
в том же смысле, в каком нет выбора конкретной точки
А это в каком?

Ну как вы и сказали - неалгоритмизуемая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение31.07.2016, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
diletto в сообщении #1141027 писал(а):
Ну как вы и сказали - неалгоритмизуемая задача.
Задача для каждого $x \in [0, 1]$ предъявить $-x$ неалгоритмируема по тем же самым причинам. Скажете ли Вы, что она неконструктивна?

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение31.07.2016, 00:14 


12/08/13
902
Anton_Peplov в сообщении #1141028 писал(а):
diletto в сообщении #1141027 писал(а):
Ну как вы и сказали - неалгоритмизуемая задача.
Задача для каждого $x \in [0, 1]$ предъявить $-x$ неалгоритмируема по тем же самым причинам. Скажете ли Вы, что она неконструктивна?

Наверное, вопрос наличия соответствующей символики. Будет ли считаться, что я предъявил -x для _каждого_ x, если просто напишу [-1, 0] ?

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение31.07.2016, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
diletto в сообщении #1141030 писал(а):
Будет ли считаться, что я предъявил -x для _каждого_ x, если просто напишу [-1, 0] ?
Если я просто напишу "Рассмотрим на отрезке $[0, 1]$ отношение эквивалентности $x\sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ и из каждого класса эквивалентности выберем по одной точке" - будет ли считаться, что я предъявил множество Витали? Если нет, чем отличаются эти два случая?

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение31.07.2016, 01:07 


12/08/13
902
Anton_Peplov в сообщении #1141032 писал(а):
diletto в сообщении #1141030 писал(а):
Будет ли считаться, что я предъявил -x для _каждого_ x, если просто напишу [-1, 0] ?
Если я просто напишу "Рассмотрим на отрезке $[0, 1]$ отношение эквивалентности $x\sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ и из каждого класса эквивалентности выберем по одной точке" - будет ли считаться, что я предъявил множество Витали? Если нет, чем отличаются эти два случая?

Если верить вики - да, будет считаться (предполагая аксиому выбора, естественно).
Моя посылка в том и состояла, что подход "выбросим для каждой точки отрезка все точки, отстоящие на рациональное расстояние" тоже предъявляет это множество, а аксиому выбора вроде и не задействует. При этом, если нам дозволено говорить о "каждом классе", не заботясь об их порядке, то почему говорить о "каждой точке" - менее конструктивно?
Высказанную Warlock66613 критику (результат построения множества зависит от порядка выбора точек) можно отнести и к разбиению на классы: оно ведь не единственно.
А может быть, главный смысл аксиомы выбора - как раз в том, что она позволяет работу с континуумом вообще (элементов или множеств; в случае построения из вики - с континуумом множеств), а не в том, что возможен выбор из бесконечного множества? И тем самым обосновывает и способ "каждой точки отрезка"?..
Кстати, есть ли какие-то противоречащие повседневной интуиции парадоксы, вытекающие из применения аксиомы выбора БЕЗ континуальности (только к счетным множествам)?

 Профиль  
                  
 
 Re: В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)
Сообщение31.07.2016, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
diletto в сообщении #1141004 писал(а):
сформулировать так:

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.
В этом описании явно чего-то не хватает. Потому что получается пустое множество. Ибо всякая точка отрезка находится на рациональном расстоянии от какой-нибудь другой точки того же отрезка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group