интеграл (длина циклоиды)

[Ирина-chip]

Здравствуйте. Решаю интеграл, но получается не очень красивый ответ. То есть не могу даже добраться до ответа. Помогите, пожалуйста.

$$\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{4\sin^{2}t+4-4cost+4cos^{2}t}dt$$ $$2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{2-cost}dt$$

Вот так у меня получается. А как дальше быть, я не знаю. Помогите, пожалуйста!

[ИСН]

Вроде никак. То есть сводится к эллиптическим.

[Ирина-chip]

Короче говоря, этот интеграл - нахождение длины циклоиды на указанном интервале. По сути должен получиться численный ответ. Только как его получить?

[Алексей К.]

Здесь написано, что "Longueur d'une arche : $8R$ ; aire : $3\pi R^2$",
что одначает длину дуги ($8R$) и площадь.
Имеется в виду циклоида

$$\begin{array}{l} x=R(t-\sin t)\\ y=R(1-\cos t) \end{array} $$

У Вас, похоже, половинка дуги.

[ИСН]

(В сторону) Численный - численно и получить...
Длина циклоиды считается аналитически, то есть этот интеграл - это не она. У Вас там в одной циферке ошибка.

[Алексей К.]

Вы ошиблись: $s=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t$, считается легко.

[Ирина-chip]

Алексей К. писал(а):

Вы ошиблись: $s=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t$, считается легко.

Легко? А как же мне взять интеграл от такого корня? Ну 2 естественно я вынесу за знак интеграла... А дальше? Не могу сообразить Подскажите, пожалуйста.

$$2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\cos t}dt$$

ЗЫ Мне обязательно нужно вычислить длину этой дуги с помощью интеграла.

[ИСН]

А дальше половинный аргумент и вперёд.

[Ирина-chip]

ИСН
никак не соображу.мне косинус как косинус двойного разложить?там несколько вариантов разложения.можно как разность квадратов (косинуса и синуса).Можно как удвоенный квадрат косинуса без единицы или же единица без двух синусов(синус в квадрате). Извините, что словами

[AD]

Попробуйте все три и посмотрите, где красивее подкоренное выражение получается.

[Echo-Off]

Господа! Мне кажется, между

Ирина-chip писал(а):

$$2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{2-cost}dt$$

и

Алексей К. писал(а):

$s=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t$

есть небольшая разница.

Второй интеграл в элементарных функциях берётся, а первый, готов поставить 50 рублей, нет.

[Алексей К.]

Ирина-chip писал(а):

Ну 2 естественно я вынесу за знак интеграла... А дальше? Не могу сообразить Подскажите, пожалуйста.

$$2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\cos t}dt$$

Вы не 2 вынесли, а штук 8, по-моему...
$u=\tg\dfrac{t}{2}$, $\cos t=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$, $du=\mbox{\small (чего-то там)}\,dt$.
Извините, лук подгорает...
Дык ё мо ё $\mbox{---}\quad 1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}\,$!!! Сгорел...

Добавлено спустя 63 минуты 48 секунд:

С луком я стушил индейку,
Ира интеграл взяла,
Накарябал AD статейку,
Так суббота и прошла...

[Ирина-chip]

Алексей К.
Спасибо Вам огромное. Успехов в кулинарии

Добавлено спустя 6 минут 27 секунд:

Алексей К. писал(а):

Ира интеграл взяла,

Извините, но я не люблю, когда меня называют Ирой. Ирина я. А Ира от имени Ираида.

[Алексей К.]

Извините; я ведь тоже не люблю искажать ники. Просто Ирину не смог срифмовать...
Беда, коль сапоги начнёт тачать пирожник...

[Ирина-chip]

Алексей К. писал(а):

Извините; я ведь тоже не люблю искажать ники. Просто Ирину не смог срифмовать...
Беда, коль сапоги начнёт тачать пирожник...

Ирина неплохо рифмуется с картиной